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$27^{\circ}$

$4\sqrt{3}$

$12$

解：$(1)$∵五边形$ABCDE$是正五边形，

∴$∠ABC=\frac {(5 - 2)×180°}{5}=108°。$

$ (2) \triangle AMN$是正三角形。理由如下：

$ $连接$ON、$$NF。$由作图，得$FN = OF。$

∵$OF = ON，$

∴$FN = OF = ON，$

∴$\triangle FON$是等边三角形，

∴$∠NFA = 60°。$

∵$\overset {\frown }{AN}=\overset {\frown }{AN}，$

∴$∠NMA=∠NFA = 60°。$

同理，可得$∠ANM = 60°。$

$ $在$\triangle AMN$中，$∠MAN = 60°，$

∴$∠NMA=∠ANM=∠MAN，$

∴$\triangle AMN$是正三角形。

$ (3)$由$(2)，$得$\triangle AMN$是正三角形，

∴$∠AON = 2∠AMN = 120°，$

∴$\overset {\frown }{AN}=120°。$

∵$\overset {\frown }{AD}=2\overset {\frown }{AE}=2×\frac {360°}{5}=144°，$

∴$\overset {\frown }{DN}=\overset {\frown }{AD}-\overset {\frown }{AN}=144°-120°=24°，$

∴$n=\frac {360°}{24°} = 15。$

证明：$∵\triangle ABC$是等边三角形，

$∴∠A=∠B=∠C = 60°，$$AB = BC = AC。$

$∵E$、$F$、$G$、$H$、$L$、$K$分别是各边的三等分点，

$∴AE = EF = FB=\frac{1}{3}AB，$$BG = GH = HC=\frac{1}{3}BC，$$LC = KL = AK=\frac{1}{3}AC，$

$∴AE = AK，$$BF = BG，$$CH = CL。$

$∵∠A=∠B=∠C = 60°，$

$∴\triangle AEK$、$\triangle BGF$、$\triangle CHL$是等边三角形，

$∴EK = EF = FG = GH = HL = LK，$

$∠KEF=∠EFG=∠FGH=∠GHL=∠HLK=∠LKE = 120°，$

$∴$六边形$EFGHLK$是正六边形。