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 解：因为$10^m = 50，$$10^n = 2^{-1}，$所以$10^m\div10^n = 50\div2^{-1}=100，$即$10^{m - n}=10^2，$所以$m - n = 2，$所以$16^m\div4^{2n}=(4^2)^m\div4^{2n}=4^{2m}\div4^{2n}=4^{2m - 2n}=4^{2(m - n)}=4^4 = 256。$

 解：

 (1)因为$a = 16^{31}=(2^4)^{31}=2^{124}，$$b = 8^{41}=(2^3)^{41}=2^{123}，$$c = 4^{61}=(2^2)^{61}=2^{122}，$且$124＞123＞122，$所以$a＞b＞c。$

 (2)因为$3^{100}=(3^5)^{20}=243^{20}，$$5^{60}=(5^3)^{20}=125^{20}，$且$243＞125，$所以$3^{100}＞5^{60}。$

 解：

 (1)因为$N = 2^{12}\times5^9 = 2^3\times2^9\times5^9 = 8\times(2\times5)^9 = 8\times10^9，$所以$N$是一个十位数。

 (2)因为$2^{2022}\times3^{2023}=(2^{2022}\times3^{2022})\times3 = 6^{2022}\times3，$又因为$6^{2022}$的个位数字是$6，$所以$2^{2022}\times3^{2023}=6^{2022}\times3$的个位数字是$8。$

 解：因为$25^{x - 2}=5^{x + 5}，$所以$5^{2(x - 2)}=5^{x + 5}，$所以$2(x - 2)=x + 5，$所以$2x - 4 = x + 5，$所以$x = 9。$

 解：因为$4^{x + 1}\times3^x - 4^x\times3^{x + 1}=2^3\times6^3，$所以$4\times4^x\times3^x - 3\times4^x\times3^x=(2\times6)^3，$所以$4\times(4\times3)^x - 3\times(4\times3)^x = 12^3，$所以$(4 - 3)\times12^x = 12^3，$所以$12^x = 12^3，$所以$x = 3。$

 解：

 (1)因为$2^{x + 1}\cdot2^x = 2^5，$所以$2^{x + 1 + x}=2^5，$所以$2^{2x + 1}=2^5，$所以$2x + 1 = 5，$所以$x = 2。$

 (2)因为$2^{x + 1}+2^x = 24，$所以$(2 + 1)\times2^x = 24，$所以$2^x = 8 = 2^3，$所以$x = 3。$