解：
(1)$\begin{cases}x + y=6 - m,① \\x - y=2 + 3m,②\end{cases}$
① + ②，得$2x=8 + 2m，$解得$x=4 + m.$
① - ②，得$2y=4 - 4m，$解得$y=2 - 2m.$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=4 + m \\y=2 - 2m\end{cases}.$
因为方程组的解满足$x，$$y$均为非负数，
所以$\begin{cases}x\geqslant0 \\y\geqslant0\end{cases}，$即$\begin{cases}4 + m\geqslant0 \\2 - 2m\geqslant0\end{cases}.$
解$4 + m\geqslant0，$得$m\geqslant - 4；$解$2 - 2m\geqslant0，$得$m\leqslant1.$
故$m$的取值范围为$-4\leqslant m\leqslant1.$
(2)因为绝对值最小的数为$0，$$m$为绝对值最小的数，
所以$m = 0.$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=4 \\y=2\end{cases}.$
