解: 由题意，得$m - 1\neq0，$即$m\neq1。$
因为$a = m - 1，$$b = - 2m，$$c = m + 1，$
所以$b^{2}-4ac=(-2m)^{2}-4(m - 1)(m + 1)=4m^{2}-4(m^{2}-1)=4。$
所以$x=\frac{2m\pm\sqrt{4}}{2(m - 1)}=\frac{2m\pm2}{2(m - 1)}，$
则$x_1=\frac{2m + 2}{2(m - 1)}=\frac{m + 1}{m - 1}=1+\frac{2}{m - 1}，$$x_2 = 1。$
因为该方程的两个根都为正整数且$m$为整数，所以$m - 1 = 1$或$2，$解得$m = 2$或$3。$
故当$m$的值为$2$或$3$时，该方程的两个根都为正整数。
