解: (1)$\triangle ABC$是等腰三角形。理由如下：
把$x = - 1$代入方程$(a + c)x^2+2bx+(a - c)=0，$得$a + c-2b+a - c = 0。$
化简，得$2a - 2b = 0，$所以$a = b，$所以$\triangle ABC$是等腰三角形。
(2)$\triangle ABC$是直角三角形。理由如下：
因为原方程有两个相等的实数根，所以$(2b)^2-4(a + c)(a - c)=0，$
即$4b^2-4(a^2 - c^2)=0，$$b^2 + c^2 = a^2，$所以$\triangle ABC$是直角三角形。
(3)因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$a = b = c，$
所以原方程可化为$2ax^2+2ax = 0。$
因为$a\gt0，$所以方程两边同除以$2a，$得$x^2 + x = 0，$
因式分解得$x(x + 1)=0，$
解得$x_1 = 0,x_2 = - 1。$
