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解: 设这个三位数的十位数字是$a，$则个位数字是$a + 3，$百位数字是$a + 2。$

 由题意，得$100(a + 2)+10a+(a + 3)=9[a^{2}+(a + 3)^{2}+(a + 2)^{2}]+20。$

 整理，得$9a^{2}-7a - 22 = 0，$

 对于一元二次方程$Ax^2 + Bx + C = 0$（$A=9，$$B=-7，$$C = -22$），其求根公式为$x=\frac{-B\pm\sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}，$

 则$a=\frac{7\pm\sqrt{(-7)^2 - 4\times9\times(-22)}}{2\times9}=\frac{7\pm\sqrt{49 + 792}}{18}=\frac{7\pm\sqrt{841}}{18}=\frac{7\pm29}{18}，$

 解得$a_1 = 2，$$a_2=-\frac{11}{9}$（不合题意，舍去），

 则$a + 3 = 5，$$a + 2 = 4。$

 故这个三位数是$425。$

解: 设周瑜去世年龄的个位数字是$a，$则十位数字是$a - 3。$

 由题意，得$10(a - 3)+a=a^{2}。$

 整理，得$a^{2}-11a + 30 = 0，$

 因式分解得$(a - 5)(a - 6)=0，$

 则$a - 5 = 0$或$a - 6 = 0，$

 解得$a_1 = 5，$$a_2 = 6。$

 当$a = 5$时，$a - 3 = 2，$则$25\lt30，$不合题意，舍去；

 当$a = 6$时，$a - 3 = 3。$

 故周瑜去世时的年龄是$36$岁。

解: (1)设最小数为$x，$则最大数为$x + 8。$

 由题意，得$x(x + 8)=180。$

 整理，得$x^{2}+8x - 180 = 0，$

 因式分解得$(x - 10)(x + 18)=0，$

 则$x - 10 = 0$或$x + 18 = 0，$

 解得$x_1 = 10，$$x_2=-18$（不合题意，舍去）。

 故最小数为$10。$

 (2)不能。理由如下：

 设最小数为$y，$则其他三个数分别为$y + 1，$$y + 7，$$y + 8。$

 由题意，得$y(y + 8)+y+(y + 1)+(y + 7)+(y + 8)=124。$

 整理，得$y^{2}+12y - 108 = 0，$

 因式分解得$(y - 6)(y + 18)=0，$

 则$y - 6 = 0$或$y + 18 = 0，$

 解得$y_1 = 6，$$y_2=-18$（不合题意，舍去）。

 观察日历表可知，$y = 6$不合题意，舍去。

 故任意虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为$124。$

解: 设每轮传播中平均一人传播了$x$人。

 由题意，得$3+3x+x(3x + 3)=864\times50\%。$

 整理，得$3 + 3x+3x^{2}+3x = 432，$

 即$3x^{2}+6x - 429 = 0，$两边同时除以$3$得$x^{2}+2x - 143 = 0，$

 因式分解得$(x - 11)(x + 13)=0，$

 则$x - 11 = 0$或$x + 13 = 0，$

 解得$x_1 = 11，$$x_2=-13$（不合题意，舍去）。

 故每轮传播中平均一人传播了$11$人。

解: (1)设每轮传染中平均一人传染给$x$人。

 由题意，得$1+x+x(1 + x)=81。$

 整理，得$(1 + x)^{2}=81，$

 则$1 + x=\pm9，$

 解得$x_1 = 8，$$x_2=-10$（舍去，不合题意）。

 故每轮传染中平均一人传染给$8$人。

 (2)由题意，得$8\times81 = 648$（人）。

 故第三轮传染又有$648$人被感染。