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解: (1)设这两个月该工程队工作效率的月平均增长率为$x。$

 由题意，得$12000(1 + x)^{2}=14520，$

 则$(1 + x)^{2}=1.21，$

 $1 + x=\pm1.1，$

 解得$x_1 = 0.1 = 10\%，$$x_2=-2.1$（不合题意，舍去）。

 故这两个月该工程队工作效率的月平均增长率为$10\%。$

 (2)由题意，得$12000+12000\times(1 + 10\%)+14520+14520\times(1 + 10\%)$

 $=12000 + 13200+14520+15972$

 $=55692(m^{2})。$

 因为$55692\gt55000，$所以估计到$10$月末该工程队能完成该小区共$55000m^{2}$的道路翻新任务。

解: (1)设$B$型设备每小时铺设的路面长度为$x m，$则$A$型设备每小时铺设的路面长度为$(2x + 30)m。$

 由题意，得$32[x+(2x + 30)]=4800，$

 $32(3x + 30)=4800，$

 $3x + 30 = 150，$

 $3x = 120，$

 解得$x = 40，$

 则$2x + 30 = 110。$

 故$A$型设备每小时铺设的路面长度为$110m。$

 (2)由题意，得$40(a + 25+32)+(110 - 3a)(32 + a)=4800 + 1000。$

 $40(a + 57)+(110 - 3a)(32 + a)=5800，$

 $40a+2280+(110\times32+110a-3a\times32-3a^{2})=5800，$

 $40a+2280+(3520 + 110a-96a-3a^{2})=5800，$

 $40a+2280+3520 + 14a-3a^{2}=5800，$

 $-3a^{2}+54a+5800 - 5800 = 0，$

 $-3a^{2}+54a = 0，$

 两边同时除以$-3$得$a^{2}-18a = 0，$

 因式分解得$a(a - 18)=0，$

 则$a = 0$或$a - 18 = 0，$

 解得$a_1 = 18，$$a_2 = 0$（不合题意，舍去）。

 故$a$的值为$18。$

解: (1)由题意，得$AP = 4t cm，$$CQ = t cm。$

 因为四边形$ABCD$是矩形，所以$AB = DC = 14 cm，$$BC = AD = 6 cm，$

 所以$BP = AB - AP=(14 - 4t)cm，$

 所以$S_{梯形BCQP}=\frac{1}{2}(CQ + BP)\cdot BC=\frac{1}{2}(t + 14 - 4t)\times6=(42 - 9t)cm^{2}。$

 因为$4t\leqslant14，$所以$t\leqslant\frac{7}{2}。$

 因为$S_{矩形ABCD}=DC\cdot AD = 84 cm^{2}，$

 所以当$PQ$将矩形$ABCD$的面积分成$2:5$两部分时，分类讨论如下：

 ①若$S_{梯形ADQP}:S_{梯形BCQP}=2:5，$则$S_{梯形BCQP}=\frac{5}{7}S_{矩形ABCD}=60 cm^{2}，$

 所以$42 - 9t = 60，$解得$t=-2，$不合题意，舍去；

 ②若$S_{梯形BCQP}:S_{梯形ADQP}=2:5，$则$S_{梯形BCQP}=\frac{2}{7}S_{矩形ABCD}=24 cm^{2}，$

 所以$42 - 9t = 24，$解得$t = 2。$

 综上所述，当$t$的值为$2$时，$PQ$将矩形$ABCD$的面积分成$2:5$两部分。

 (2)过点$Q$作$QE\perp AB$于点$E，$则$\angle BEQ=\angle PEQ = 90^{\circ}。$

 因为四边形$ABCD$是矩形，所以$\angle B=\angle C = 90^{\circ}，$所以四边形$BCQE$是矩形，

 所以$QE = BC = 6 cm，$$BE = CQ = t cm。$

 因为$BP=(14 - 4t)cm，$所以$PE=\vert BP - BE\vert=\vert14 - 5t\vert cm。$

 因为$PE^{2}+QE^{2}=PQ^{2}，$$PQ = 10 cm，$所以$\vert14 - 5t\vert^{2}+6^{2}=10^{2}，$

 $(14 - 5t)^{2}=100 - 36 = 64，$

 $14 - 5t=\pm8，$

 当$14 - 5t = 8$时，$5t = 6，$解得$t_1=\frac{6}{5}；$

 当$14 - 5t=-8$时，$5t = 22，$解得$t_2=\frac{22}{5}$（不合题意，舍去）。

 故当$t$的值为$\frac{6}{5}$时，$P，$$Q$两点之间的距离为$10 cm。$