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 解：因为不论$x$取何值，总有$x^{2}=|x|^{2}，$所以原方程可化为$|x|^{2}-|x|-2 = 0，$即$(|x|-2)(|x| + 1)=0。$

 因为$|x|+1\neq0，$所以$|x|-2 = 0，$所以$|x| = 2，$所以$x=\pm2。$

 故原方程的解是$x_{1}=2，$$x_{2}=-2。$

 解：因为$x_{1},x_{2}$是一元二次方程$x^{2}+x - 4 = 0$的两个实数根，所以$x_{1}+x_{2}=-1，$$x_{1}^{2}+x_{1}-4 = 0，$$x_{2}^{2}+x_{2}-4 = 0，$所以$x_{1}^{2}=4 - x_{1}，$$x_{2}^{2}=4 - x_{2}。$

 所以原式$=x_{1}(4 - x_{1})-5(4 - x_{2})+10=4x_{1}-x_{1}^{2}-20 + 5x_{2}+10=4x_{1}-(4 - x_{1})+5x_{2}-10=5(x_{1}+x_{2})-14=5\times(-1)-14=-19。$

 解：将方程$x^{2}+ax + 1 = 0，$$x^{2}+bx + c = 0，$$x^{2}+x + a = 0，$$x^{2}+cx + b = 0$依次编号为①②③④。

 设$x_{1}$是方程①②的一个相同的实数根，则$\begin{cases}x_{1}^{2}+ax_{1}+1 = 0\\x_{1}^{2}+bx_{1}+c = 0\end{cases}，$因为$a\neq b，$所以$x_{1}=\frac{c - 1}{a - b}。$

 设$x_{2}$是方程③④的一个相同的实数根，则$\begin{cases}x_{2}^{2}+x_{2}+a = 0\\x_{2}^{2}+cx_{2}+b = 0\end{cases}，$所以$x_{2}=\frac{a - b}{c - 1}，$所以$x_{1}x_{2}=1。$

 因为方程①的两根之积等于$1，$所以$x_{2}$也是方程①的根，所以$x_{2}^{2}+ax_{2}+1 = 0。$又$x_{2}^{2}+x_{2}+a = 0，$所以$(a - 1)x_{2}=a - 1。$

 若$a = 1，$则方程①无实数根，不合题意，所以$a\neq1，$所以$x_{2}=1，$所以$1 + 1 + a = 0，$$1 + c + b = 0，$所以$a=-2，$$b + c=-1。$

 又$a - b + c = 3，$所以$b=-3，$$c = 2。$

 解：因为$(x - 1)(x^{2}-2x + m)=0，$所以$x = 1$或$x^{2}-2x + m = 0。$

 设$\alpha,\beta$是方程$x^{2}-2x + m = 0$的两个根，则$(-2)^{2}-4m\geqslant0，$解得$m\leqslant1。$

 由一元二次方程的根与系数的关系，得$\alpha+\beta = 2，$$\alpha\beta = m。$

 由题意，得$|\alpha-\beta|\lt1，$所以$(\alpha-\beta)^{2}\lt1，$所以$(\alpha+\beta)^{2}-4\alpha\beta\lt1，$所以$4 - 4m\lt1，$解得$m\gt\frac{3}{4}。$

 故实数$m$的取值范围为$\frac{3}{4}\lt m\leqslant1。$

 (1) 解：因为关于$x$的一元二次方程$(1+\frac{k}{2})x^{2}+(k + 2)x-1 = 0$有两个相等的实数根，所以$(k + 2)^{2}-4\times(1+\frac{k}{2})\times(-1)=0$且$1+\frac{k}{2}\neq0。$

 $\begin{aligned}(k + 2)^{2}+4\times(1+\frac{k}{2})&=0\\k^{2}+4k + 4+4 + 2k&=0\\k^{2}+6k + 8&=0\\(k + 2)(k + 4)&=0\end{aligned}$

 解得$k=-2$或$k=-4，$又$1+\frac{k}{2}\neq0$即$k\neq - 2，$所以$k=-4。$

 (2) 解：因为方程$(1+\frac{k}{2})x^{2}+(k + 2)x-1 = 0$和$x^{2}+(2k + 1)x-2k - 3 = 0$有一个公共根$a，$所以$(1+\frac{k}{2})a^{2}+(k + 2)a-1 = 0$①，$a^{2}+(2k + 1)a-2k - 3 = 0$②。

 ①$\times2+$②，得$(k + 3)a^{2}+(4k + 5)a-2k - 5 = 0，$所以$(a^{2}+4a - 2)k+3a^{2}+5a - 5 = 0，$所以$(a^{2}+4a - 2)k+3a^{2}+5a = 5。$

 所以原式$=2[(a^{2}+4a - 2)k+3a^{2}+5a]=2\times5 = 10。$