第55页 - 亮点给力提优课时作业本九年级数学江苏版

$10$

$217^{\circ}$

$\frac{13}{3}$

解: （1）直线$BE$与$\odot O$相切。理由如下：

 连接$OD。$因为$CD$是$\odot O$的切线，所以$OD\perp CD，$所以$\angle ODE = 90^{\circ}。$

 因为$OE// AD，$所以$\angle ODA=\angle DOE，$$\angle OAD=\angle BOE。$

 因为$OA = OD，$所以$\angle OAD=\angle ODA，$所以$\angle BOE=\angle DOE。$

 在$\triangle BOE$和$\triangle DOE$中，$\begin{cases}OB = OD\\\angle BOE=\angle DOE\\OE = OE\end{cases}，$所以$\triangle BOE\cong\triangle DOE(SAS)，$

 所以$\angle OBE=\angle ODE = 90^{\circ}，$所以$OB\perp BE。$

 因为$OB$是$\odot O$的半径，所以直线$BE$与$\odot O$相切。

 （2）设$\odot O$的半径为$r，$则$OA = OB = OD = r。$

 因为$CA = 2，$所以$OC = OA + CA = r + 2。$

 因为$\angle ODC = 90^{\circ}，$所以$OD^{2}+CD^{2}=OC^{2}。$

 因为$CD = 4，$所以$r^{2}+4^{2}=(r + 2)^{2}，$

 展开得$r^{2}+16=r^{2}+4r + 4，$

 移项得$r^{2}-r^{2}-4r=4 - 16，$

 合并同类项得$-4r=-12，$

 解得$r = 3，$所以$OA = OB = 3，$所以$BC = OA + OB + CA = 8。$

 因为$ED，$$EB$分别与$\odot O$相切于点$D，$$B，$所以$DE = BE。$

 设$DE = BE = x，$则$CE = DE + CD = x + 4。$

 因为$\angle OBE = 90^{\circ}，$所以$BE^{2}+BC^{2}=CE^{2}，$即$x^{2}+8^{2}=(x + 4)^{2}，$

 展开得$x^{2}+64=x^{2}+8x + 16，$

 移项得$x^{2}-x^{2}-8x=16 - 64，$

 合并同类项得$-8x=-48，$

 解得$x = 6，$即$DE$的长为$6。$

A

$\sqrt{2}$

 （1）证明：因为$\angle ACB = 90^{\circ}，$所以$AC\perp BC。$

 因为$OC$为$\odot O$的半径，所以$BC$是$\odot O$的切线。

 因为$\odot O$与边$AB$相切于点$P，$所以$BC = BP，$所以$\angle BCP=\angle BPC，$

 所以$\angle B = 180^{\circ}-\angle BCP-\angle BPC = 180^{\circ}-2\angle BCP = 2(90^{\circ}-\angle BCP)。$

 因为$\angle ACP=\angle ACB-\angle BCP = 90^{\circ}-\angle BCP，$所以$\angle B = 2\angle ACP。$

 （2）解：如图，当点$O$在$BC$上时，连接$OA，$$OP。$

 因为$\angle ACB = 90^{\circ}，$$AC = 8，$$BC = 6，$所以$AC\perp BC，$$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}} = 10。$

 因为$OC$为$\odot O$的半径，所以$AC$为$\odot O$的切线。

 因为$\odot O$与边$AB$相切于点$P，$所以$OP\perp AB，$$AP = AC = 8，$

 所以$\angle OPB = 90^{\circ}，$$BP = AB - AP = 2。$

 设$OC = OP = x，$则$OB = BC - OC = 6 - x。$

 因为$OP^{2}+BP^{2}=OB^{2}，$所以$x^{2}+2^{2}=(6 - x)^{2}，$

 展开得$x^{2}+4=36-12x+x^{2}，$

 移项得$x^{2}-x^{2}+12x=36 - 4，$

 合并同类项得$12x = 32，$

 解得$x=\frac{8}{3}，$所以$OC=\frac{8}{3}，$所以$OA=\sqrt{OC^{2}+AC^{2}}=\sqrt{(\frac{8}{3})^{2}+8^{2}}=\frac{8\sqrt{10}}{3}。$

 因为$AC = AP，$$OC = OP，$所以$OA$垂直平分$CP，$

 所以$S_{四边形ACOP}=\frac{1}{2}AC\cdot OC+\frac{1}{2}AP\cdot OP=\frac{1}{2}OA\cdot CP，$

 所以$CP=\frac{2AC\cdot OC}{OA}=\frac{2\times8\times\frac{8}{3}}{\frac{8\sqrt{10}}{3}}=\frac{8\sqrt{10}}{5}。$

 当点$O$在$AC$上时，同理可得$CP=\frac{12\sqrt{5}}{5}。$

 当点$P$与点$A$重合时，$CP$最长，此时$CP = 8。$

 因为点$O$在$\triangle ABC$的外部，且$\frac{8\sqrt{10}}{5}＜\frac{12\sqrt{5}}{5}＜6，$所以$CP$长的取值范围为$\frac{8\sqrt{10}}{5}＜CP\leqslant8。$