第33页 - 通城学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

$-1$

$\frac{1}{9}\leq a\leq3$

$2\sqrt{3}$

 解：（1）把$A(2,-4)$代入$y = ax^{2}，$得$-4 = 4a，$

 解得$a = -1。$

 （2）设点$C$的横坐标为$m(m\gt0)。$

 因为四边形$CDFE$为正方形，所以$CD = CE = 2m，$点$E$的坐标为$(m,-4 + 2m)。$

 因为$a = -1，$所以$y = -x^{2}。$

 则$-m^{2}=-4 + 2m，$

 即$m^{2}+2m - 4 = 0，$

 根据求根公式$m=\frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4\times1\times(-4)}}{2\times1}=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{2}=-1\pm\sqrt{5}，$

 因为$m\gt0，$所以$m=-1+\sqrt{5}。$

 $CD = 2m=-2 + 2\sqrt{5}，$

 正方形$CDFE$的周长为$4CD = 4(-2 + 2\sqrt{5})=-8 + 8\sqrt{5}。$

 解：（1）将$(1,b)$代入$y = 2x - 3，$得$b = 2\times1 - 3=-1。$

 将$(1,-1)$代入$y = ax^{2}，$得$-1 = a\cdot1^{2}，$

 解得$a = -1。$

 所以抛物线对应的函数解析式为$y = -x^{2}，$顶点坐标为$(0,0)，$对称轴为$y$轴。

 （2）令$-x^{2}=2x - 3，$

 即$x^{2}+2x - 3 = 0，$

 因式分解得$(x + 3)(x - 1)=0，$

 解得$x_{1}=-3，$$x_{2}=1。$

 当$x = -3$时，$y = -9；$当$x = 1$时，$y = -1。$

 所以$A(1,-1)，$$B(-3,-9)。$

 $S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}\times(1 + 9)\times[1 - (-3)]-\frac{1}{2}\times3\times9-\frac{1}{2}\times1\times1$

 $=\frac{1}{2}\times10\times4-\frac{27}{2}-\frac{1}{2}$

 $=20 - 14=6。$

 （3）过点$O$作$OP// AB，$交抛物线于点$P，$连接$AP，$$BP。$此时$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle ABP}。$

 因为直线$AB$：$y = 2x - 3，$所以直线$OP$对应的函数解析式为$y = 2x。$

 联立$\begin{cases}y = 2x\\y = -x^{2}\end{cases}，$

 将$y = 2x$代入$y = -x^{2}$得$2x=-x^{2}，$

 即$x^{2}+2x = 0，$

 $x(x + 2)=0，$

 解得$\begin{cases}x_{1}=0\\y_{1}=0\end{cases}，$$\begin{cases}x_{2}=-2\\y_{2}=-4\end{cases}。$

 因为点$O$的坐标为$(0,0)，$所以点$P$的坐标为$(-2,-4)。$