解：（1）由题意，可设该二次函数的解析式为$y = ax^{2}+c(a\neq0)。$
将$A(0,1)，$$B(2,3)$代入，得$\begin{cases}c = 1\\4a + c = 3\end{cases}，$
由$c = 1$代入$4a + c = 3$得$4a+1 = 3，$$4a=2，$解得$a=\frac{1}{2}。$
所以该二次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x^{2}+1。$
（3）在$y = -\frac{1}{2}x + 2$中，令$x = 0，$则$y = 2，$所以直线$y = -\frac{1}{2}x + 2$与$y$轴的交点坐标为$(0,2)。$
令$-\frac{1}{2}x + 2=\frac{1}{2}x^{2}+1，$
移项得$\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x - 1 = 0，$两边同乘$2$得$x^{2}+x - 2 = 0，$
因式分解得$(x + 2)(x - 1)=0，$
解得$x_1=-2，$$x_2 = 1。$
所以点$C$的横坐标为$-2，$点$D$的横坐标为$1。$
$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}\times(2 - 1)\times|-2|+\frac{1}{2}\times(2 - 1)\times1=\frac{1}{2}\times2+\frac{1}{2}\times1 = \frac{3}{2}$
