第35页 - 通城学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

C

$(2,5)$

$-1$

$-2$

$y = x^{2}+2$

8

 解：（1）由题意，得$\begin{cases}k = -2\\a + k = 1\end{cases}，$

 将$k = -2$代入$a + k = 1$得$a-2 = 1，$解得$a = 3。$

 所以此抛物线对应的函数解析式为$y = 3x^{2}-2，$抛物线开口向上，对称轴为$y$轴。

 （2）此抛物线对应的函数$y$有最小值，当$x = 0$时，函数$y$取得最小值，为$-2。$

 （3）当$x\lt0$时，$y$随$x$的增大而减小。因为$x_1\lt x_2\lt0，$所以$y_1\gt y_2。$

 解：（1）把$A(1,b)$代入$y = 2x，$得$b = 2，$所以$A(1,2)。$

 把$A(1,2)$代入$y = ax^{2}+3，$得$a + 3 = 2，$解得$a = -1。$

 （2）把$B(m,4)$代入$y = 2x，$得$2m = 4，$解得$m = 2，$所以$B(2,4)。$

 因为抛物线$y = ax^{2}+3$即$y=-x^{2}+3$的顶点$C$的坐标是$(0,3)，$所以$OC = 3。$

 $S_{\triangle ABC}=S_{\triangle OBC}-S_{\triangle OAC}=\frac{1}{2}\times3\times2-\frac{1}{2}\times3\times1=\frac{6}{2}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}。$

 （3）设点$C$关于$x$轴的对称点为$C'，$则点$C'$的坐标为$(0,-3)，$连接$AC'$交$x$轴于点$P，$此时$PA + PC$最小。

 设直线$AC'$对应的函数解析式为$y = kx + n。$

 把$C'(0,-3)，$$A(1,2)$代入，得$\begin{cases}n = -3\\k + n = 2\end{cases}，$

 将$n = -3$代入$k + n = 2$得$k-3 = 2，$解得$k = 5。$

 所以$y = 5x - 3。$

 当$y = 0$时，$5x - 3 = 0，$$5x=3，$解得$x=\frac{3}{5}。$

 所以点$P$的坐标是$(\frac{3}{5},0)。$