解：根据题意，
因为点$A(1,0)，$点$O(0,0)，$点$P_1$与点$O$关于点$A$成中心对称，设$P_1(x_1,y_1)，$根据中点坐标公式$\frac{0 + x_1}{2}=1，$$\frac{0 + y_1}{2}=0，$解得$x_1 = 2，$$y_1 = 0，$所以$P_1(2,0)；$
因为点$B(0,1)，$点$P_2$与点$P_1$关于点$B$成中心对称，设$P_2(x_2,y_2)，$则$\frac{2 + x_2}{2}=0，$$\frac{0 + y_2}{2}=1，$解得$x_2=-2，$$y_2 = 2，$所以$P_2(-2,2)；$
因为点$C(-1,0)，$点$P_3$与点$P_2$关于点$C$成中心对称，设$P_3(x_3,y_3)，$则$\frac{-2 + x_3}{2}=-1，$$\frac{2 + y_3}{2}=0，$解得$x_3 = 0，$$y_3=-2，$所以$P_3(0,-2)；$
因为点$A(1,0)，$点$P_4$与点$P_3$关于点$A$成中心对称，设$P_4(x_4,y_4)，$则$\frac{0 + x_4}{2}=1，$$\frac{-2 + y_4}{2}=0，$解得$x_4 = 2，$$y_4 = 2，$所以$P_4(2,2)；$
因为点$B(0,1)，$点$P_5$与点$P_4$关于点$B$成中心对称，设$P_5(x_5,y_5)，$则$\frac{2 + x_5}{2}=0，$$\frac{2 + y_5}{2}=1，$解得$x_5=-2，$$y_5 = 0，$所以$P_5(-2,0)；$
因为点$C(-1,0)，$点$P_6$与点$P_5$关于点$C$成中心对称，设$P_6(x_6,y_6)，$则$\frac{-2 + x_6}{2}=-1，$$\frac{0 + y_6}{2}=0，$解得$x_6 = 0，$$y_6 = 0，$所以$P_6(0,0)。$
由此可得每$6$个点循环一次。
因为$7\div6 = 1\cdots\cdots1，$所以点$P_7$的坐标与$P_1$的坐标相同，为$(2,0)。$
因为$2025\div6 = 337\cdots\cdots3，$所以点$P_{2025}$的坐标与点$P_3$的坐标一致，即点$P_{2025}$的坐标为$(0,-2)。$
