解：连接$CO，$$DO。$
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$OA = OB。$
因为$M，$$N$分别是$OA，$$OB$的中点，所以$OM=\frac{1}{2}OA，$$ON = \frac{1}{2}OB，$则$OM = ON。$
因为$CM\perp AB，$$DN\perp AB，$所以$\angle CMO=\angle DNO = 90^{\circ}。$
又因为$OC = OD，$所以$Rt\triangle CMO\cong Rt\triangle DNO$（HL）。
所以$\angle COA=\angle DOB，$所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}。$
