第89页 - 通城学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

D

$2\sqrt{3}$

 （1）解：因为$OA\perp OC，$所以$\angle AOC = 90^{\circ}。$

 因为$\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{CD}，$所以$\angle AOD = 2\angle COD，$所以$\angle COD=\frac{1}{3}\angle AOC = 30^{\circ}。$

 （2）解：由（1），知$\angle AOD = 2\angle COD = 2\times30^{\circ}=60^{\circ}。$

 因为$OA = OD，$所以$\triangle AOD$为等边三角形，所以$AD = OA = 4。$

 （3）解：如图，过点$D$作$DE\perp OC，$交$\odot O$于点$E，$连接$AE，$交$OD，$$OC$于点$B，$$P，$连接$DP，$$OE，$则此时$AP + PD$的值最小。

 根据圆的对称性，易得$E$是点$D$关于$OC$的对称点，$OC$是$DE$的垂直平分线，所以$PD = PE，$所以$AP + PD=AP + PE = AE。$

 由（1），知$\angle COD = 30^{\circ}，$所以$\angle COE=\angle COD = 30^{\circ}，$所以$\angle DOE = 60^{\circ}。$

 因为$\angle AOD = 60^{\circ}，$所以$\angle DOE=\angle AOD。$

 因为$AO = EO，$所以$OB\perp AE，$所以$AB = BE。$

 在$Rt\triangle AOB$中，因为$\angle AOB = 60^{\circ}，$所以$\angle OAB = 30^{\circ}。$

 因为$OA = 4，$所以$OB=\frac{1}{2}OA = 2，$所以$AB=\sqrt{OA^{2}-OB^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}} = 2\sqrt{3}，$所以$BE = AB = 2\sqrt{3}。$

 所以$AE=AB + BE = 4\sqrt{3}，$即$AP + PD$的最小值为$4\sqrt{3}。$

 解：连接$AE。$

 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC，$所以$\angle GAD = \angle GBC，$$\angle DAE = \angle AEB。$

 因为$AB = AE，$所以$\angle GBC = \angle AEB，$所以$\angle DAE = \angle GAD，$所以$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}。$

 解：连接$AC，$$BD。$

 因为$C，$$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，所以$AC = CD = BD，$且$\angle AOC=\frac{1}{3}\times90^{\circ}=30^{\circ}。$

 因为$OA = OC，$所以$\angle OAC=\angle OCA = 75^{\circ}。$

 因为$\angle AOB = 90^{\circ}，$$OA = OB，$所以$\angle OAE=\angle OBF = 45^{\circ}。$

 所以$\angle AEC=\angle OAE+\angle AOC=45^{\circ}+30^{\circ}=75^{\circ}。$

 所以$\angle AEC=\angle ACE，$所以$AE = AC。$

 同理，可证$BF = BD。$

 所以$AE = BF = CD。$