第99页 - 通城学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

B

$35^{\circ}$

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 （1）证明：如图，连接$OC。$

 因为$C$是$\overset{\frown}{BE}$的中点，所以$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CE}，$

 所以$\angle BAC = \angle CAE。$

 因为$OC = OA，$所以$\angle OCA = \angle OAC，$

 所以$\angle OCA=\angle CAD，$所以$OC// AD。$

 因为$AE\perp CD，$所以$OC\perp DF。$

 又因为$OC$是$\odot O$的半径，所以$CD$是$\odot O$的切线。

 （2）解：因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}。$

 因为$\angle ABC = 60^{\circ}，$所以$\angle BAC = 30^{\circ}，$

 所以$\angle CAD = \angle BAC = 30^{\circ}。$

 因为$\angle D = 90^{\circ}，$$CD = \sqrt{3}，$所以$AC = 2CD = 2\sqrt{3}。$

 所以$AD=\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{3})^{2}} = 3。$

 因为$\angle F = 180^{\circ}-\angle D-\angle BAD = 30^{\circ}，$所以$AF = 2AD = 6。$

 （1）证明：如图，连接$OA。$

 因为$AE\perp CD，$交$CD$的延长线于点$E，$$DA$平分$\angle BDE，$

 所以$\angle DAE+\angle ADE = 90^{\circ}，$$\angle ADE = \angle ADO。$

 因为以四边形$ABCD$的对角线$BD$为直径作圆，圆心为点$O，$所以$OA = OD，$

 所以$\angle OAD = \angle ADO，$所以$\angle ADE = \angle OAD，$

 所以$\angle DAE+\angle OAD = 90^{\circ}，$即$OA\perp AE。$

 又因为$OA$是$\odot O$的半径，所以$AE$是$\odot O$的切线。

 （2）解：如图，取$CD$的中点$F，$连接$OF。$

 因为$O$是$BD$中点，$F$是$CD$中点，所以$OF\perp CD。$

 因为$AE\perp CD，$$OA\perp AE，$所以四边形$AEFO$是矩形，

 所以$OF = AE = 4，$$EF = OA。$

 因为$CD = 6，$所以$DF = FC = 3。$

 在$Rt\triangle OFD$中，$OD=\sqrt{OF^{2}+DF^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}} = 5。$

 在$Rt\triangle AED$中，$AE = 4，$$ED = EF - DF = OA - DF = OD - DF = 5 - 3 = 2，$

 所以$AD=\sqrt{4^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{5}。$

 所以$\odot O$的半径为$5，$$AD$的长是$2\sqrt{5}。$