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 证明：连接$OD。$

 因为$OA = OD，$所以$\angle A=\angle ODA。$

 因为$AB$为$\odot O$的直径，所以$\angle ADB = 90^{\circ}，$则$\angle A+\angle B = 90^{\circ}。$

 又因为$\angle ADC=\angle B，$所以$\angle ODA+\angle ADC = 90^{\circ}，$即$\angle CDO = 90^{\circ}，$所以$CD\perp OD。$

 因为$OD$为$\odot O$的半径，所以直线$CD$与$\odot O$相切。

 证明：连接$OC。$

 因为$OA = OC，$所以$\angle OAC=\angle OCA。$

 因为$BC = CD，$所以$\angle DAC=\angle BAC，$所以$\angle OCA=\angle DAC，$所以$OC// AF，$所以$\angle OCE=\angle F。$

 因为$EH$平分$\angle FEG，$所以$\angle FEH=\angle GEH。$

 因为$\angle GEH=\angle H+\angle BAC，$$\angle FEG=\angle F+\angle BAF，$所以$2\angle H + 2\angle BAC=\angle F+\angle BAF。$

 又因为$\angle BAF = 2\angle BAC，$所以$\angle F = 2\angle H=90^{\circ}，$所以$\angle OCE=\angle F = 90^{\circ}，$即$OC\perp EF。$

 因为$OC$是$\odot O$的半径，所以$EF$是$\odot O$的切线。

解:

 $BC$与$\odot O$相切。

 理由：连接$OB。$

 因为$OA = OB，$所以$\angle OAB=\angle OBA。$

 因为$AB$平分$\angle CAD，$所以$\angle DAB=\angle CAB，$所以$\angle DAB=\angle OBA，$所以$AD// OB。$

 因为$AD\perp CB，$所以$OB\perp CB。$

 因为$OB$是$\odot O$的半径，所以$BC$与$\odot O$相切。