电子课本网 › 第103页

第103页

信息发布者：

 证明：在$\triangle AOF$和$\triangle EOF$中，

 $\begin{cases}OA = OE\\\angle AOD=\angle EOD\\OF = OF\end{cases}$

 所以$\triangle AOF\cong\triangle EOF(SAS)，$所以$\angle OAF=\angle OEF。$

 因为$BC$与$\odot O$相切，所以$OE\perp FC，$所以$\angle OAF=\angle OEF = 90^{\circ}，$即$OA\perp AF。$

 因为$OA$为$\odot O$的半径，所以$AF$是$\odot O$的切线。

解:

 直线$BE$与$\odot O$相切。

 理由：连接$OD。$

 因为$CD$与$\odot O$相切于点$D，$所以$\angle ODE = 90^{\circ}。$

 因为$OE// AD，$所以$\angle ADO=\angle DOE，$$\angle DAO=\angle BOE。$

 因为$OD = OA，$所以$\angle ADO=\angle DAO，$所以$\angle DOE=\angle BOE。$

 在$\triangle DOE$和$\triangle BOE$中，

 $\begin{cases}OD = OB\\\angle DOE=\angle BOE\\OE = OE\end{cases}$

 所以$\triangle DOE\cong\triangle BOE(SAS)，$所以$\angle ODE=\angle OBE = 90^{\circ}，$即$OB\perp BE。$

 因为$OB$为$\odot O$的半径，所以直线$BE$与$\odot O$相切。

 (1)证明：如图，过点$D$作$DF\perp AC$于点$F。$

 因为$\angle ABC = 90^{\circ}，$所以$AB\perp BC。$

 因为$CD$平分$\angle ACB，$所以$BD = DF。$

 因为$BD$是$\odot D$的半径，所以$DF$是$\odot D$的半径，所以$AC$与$\odot D$相切。

 (2)解:设$\odot D$的半径为$x。$

 因为$\angle ABC = 90^{\circ}，$$BC = 3，$$AC = 5，$根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}-BC^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4。$

 因为$AC$与$\odot D$相切，所以$BC = CF = 3，$所以$AF=AC - CF = 2。$

 因为$AB = 4，$所以$AD=AB - BD = 4 - x。$

 在$Rt\triangle AFD$中，根据勾股定理$AD^{2}=DF^{2}+AF^{2}，$即$(4 - x)^{2}=x^{2}+2^{2}。$

 展开得$16-8x+x^{2}=x^{2}+4，$

 移项得$16 - 4=8x，$

 解得$x=\frac{3}{2}。$

 所以$AE=AB - BE=4 - 2x=4 - 2\times\frac{3}{2}=4 - 3 = 1。$