证明：$(1)$对于方程$x^2-(2m + 1)x +\mathrm {m^2} + m = 0，$
其中$a = 1，$$b = -(2m + 1)，$$c =\mathrm {m^2} + m，$
$∆=[-(2m + 1)]^2 - 4×1×(\mathrm {m^2} + m)=4\ \mathrm {m^2}+4m + 1 - 4\ \mathrm {m^2} - 4m = 1>0，$
所以无论$m{取何值}，$方程都有两个不相等的实数根。
$(2)$根据一元二次方程的根与系数的关系，得$a + b = 2m + 1，$$ab =\mathrm {m^2} + m。$
因为$(2a + b)(a + 2b)=2a^2+4ab+ab + 2b^2=2(a^2 + 2ab + b^2)+ab=2(a + b)^2+ab，$
所以$2(a + b)^2+ab = 20，$即$2(2m + 1)^2+\mathrm {m^2} + m = 20，$
展开得$2(4\ \mathrm {m^2}+4m + 1)+\mathrm {m^2} + m = 20，$$8\ \mathrm {m^2}+8m + 2+\mathrm {m^2} + m = 20，$
整理并化简得$9\ \mathrm {m^2}+9m - 18 = 0，$
两边同时除以$9$得$\mathrm {m^2} + m - 2 = 0，$
因式分解为$(m + 2)(m - 1)=0，$
解得$m_{1} = -2，$$m_{2} = 1，$
所以$m $的值为$-2$或$1。$
