解：(2)因为$AQ = t\ cm，$$AP=(4 - 2t)\ cm，$
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（这里$a = AQ，$$h = AP$），
已知$\triangle APQ$的面积为$1\ cm^2，$则$\frac{t(4 - 2t)}{2}=1。$
整理得：$t(4 - 2t)=2，$即$4t-2t^{2}=2，$进一步化为$t^{2}-2t + 1 = 0。$
根据完全平方公式$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}，$这里$a=t，$$b = 1，$
则$(t - 1)^2=0，$解得$t_1=t_2 = 1。$
当$t = 1$时，$AP=4-2×1=2\ cm，$
因为正方形$ABCD$边长为$4\ cm，$$AB = 4\ cm，$
所以$AP=\frac{1}{2}AB，$此时点$P$在线段$AB$的中点处。
