证明：$(1)$因为$AD$平分$∠BAC，$$BE$平分$∠ABC，$
$ $所以$∠BAE = ∠CAD，$$∠ABE = ∠CBE。$
$ $因为$\overset {\frown }{CD}=\overset {\frown }{CD}，$
根据同弧所对的圆周角相等，
所以$∠DBC = ∠CAD，$
$ $所以$∠DBC = ∠BAE。$
$ $因为$∠DBE=∠CBE + ∠DBC，$$∠DEB=∠ABE + ∠BAE，$
$ $所以$∠DBE=∠DEB，$
根据等角对等边，
所以$DE = DB。$
$(2)$连接$CD。$
$ $因为$AD$平分$∠BAC，$
所以$\overset {\frown }{BD}=\overset {\frown }{CD}，$
根据等弧对等弦，
所以$CD = BD = 4。$
$ $因为$∠BAC = 90°，$
所以$BC$是$\triangle ABC$外接圆的直径$(90°$的圆周角所对的弦是直径$)，$
$ $所以$∠BDC = 90°。$
$ $在$Rt\triangle BDC$中，
根据勾股定理$BC=\sqrt {BD^2+CD^2}=\sqrt {4^2 + 4^2}=\sqrt {16 + 16}=\sqrt {32}=4\sqrt {2}。$
$ $所以$\triangle ABC$外接圆的半径$=\frac {1}{2}BC=\frac {1}{2}×4\sqrt {2}=2\sqrt {2}。$
