解：$(1)$过点$P_{作}PD\perp AC$于点$D.$
$ $在$Rt\triangle ABC$中，$∠A = 30°，$$BC = 2，$
因为在直角三角形中，$30°$所对的直角边等于斜边的一半，
所以$AB = 2BC = 4.$
$ $因为$P $是$AB$的中点，所以$AP=\frac {1}{2}AB = 2.$
$ $在$Rt\triangle APD$中，$∠A = 30°，$$AP = 2，$
因为在直角三角形中，$30°$所对的直角边等于斜边的一半，
所以$PD=\frac {1}{2}AP = 1.$
$ $因为$\odot P $与$AC$相切，
所以$\odot P $的半径$r = 1.$
$(2)$由$(1)，$得$AD=\sqrt {AP^2-PD^2}=\sqrt {2^2-1^2}=\sqrt {3}，$
$ AC=\sqrt {AB^2-BC^2}=\sqrt {4^2-2^2}=2\sqrt {3}，$
$ $所以$CD = AC - AD=2\sqrt {3}-\sqrt {3}=\sqrt {3}.$
$ $因为$\odot P $的半径为$\sqrt {3}，$$PD = 1＜\sqrt {3}，$
所以$\odot P $与直线$AC$相交；
$ $过点$P_{作}PE\perp BC$于点$E，$
因为$P $是$AB$中点，$∠C = 90°，$
所以$PE$是$\triangle ABC$的中位线，$PE=\frac {1}{2}AC=\sqrt {3}，$
所以$\odot P $与直线$BC$相切$.$
