第13页 - 通城学典课时作业本八年级数学苏科版江苏专版

证明：∵$∠MCF=∠F，$$∠MCF=∠ACB，$∴$∠ACB=∠F$

∵$AE = CF，$∴$AE + EC = CF + EC，$即$AC = EF$

在$\triangle ABC$和$\triangle EDF {中}$

$\begin {cases}∠B=∠D\\∠ACB=∠F\\AC = EF\end {cases}$

∴$\triangle ABC≌ \triangle EDF(\mathrm {AAS})$

∴$BC = DF$

$(1)$证明：∵$AE// BF，$∴$∠A=∠B$

∵$∠ACE+∠ECD = 180°，$$∠BDF+∠F_{D}C = 180°，$$∠ECD=∠F DC$

∴$∠ACE=∠BDF$

$ $在$\triangle ACE$和$\triangle BDF {中}$

$ \begin {cases}∠A=∠B \\∠ACE=∠BDF \\AE = BF\end {cases}$

∴$\triangle ACE≌\triangle BDF(\mathrm {AAS})$

∴$CE = DF$

$ (2)$解：由$(1)$知，$\triangle ACE≌\triangle BDF$

∴$AC = BD = 2$

∵$AB = 8$

∴$CD = AB - AC - BD = 8 - 2 - 2 = 4$

∴$CD$的长为$4$

$\triangle CDF$

$\triangle DAF$

$\triangle CDA$

$ (2)①$证明：∵$AB//CD，$∴$∠BAE=∠DCF$

∵$AF + AE = AC，$∴$AE = AC - AF = CF$

$ $在$\triangle ABE$和$\triangle CDF $中

$ \begin {cases}∠ABE=∠CDF \\∠BAE=∠DCF \\AE = CF\end {cases}$

∴$\triangle ABE≌\triangle CDF(\mathrm {AAS})$

②证明：∵$\triangle ABE≌\triangle CDF$

∴$∠AEB=∠CF D，$$BE = DF$

∴$∠BEC=∠DF A$

∵$AF + AE = AC，$$CE + AE = AC，$∴$AF = CE$

$ $在$\triangle BCE$和$\triangle DAF {中}$

$ \begin {cases}BE = DF \\∠BEC=∠DF A \\CE = AF\end {cases}$

∴$\triangle BCE≌\triangle DAF(S AS)$