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证明：连接$BD$

∵$AD = AB$

∴$∠ADB = ∠ABD($等边对等角$)$

∵$∠ADC = ∠ABC$

∴$∠ADC - ∠ADB = ∠ABC - ∠ABD，$即$∠BDC = ∠DBC$

∴$CD = CB($等角对等边$)$

证明：$(1)$如图，过点$E$作$EF\perp BC$于点$F$

∵$BE = CE，$$EF\perp BC$

∴$∠CEF = ∠BEF=\frac 12∠BEC($等腰三角形三线合一$)$

∵$EF\perp BC，$$AD\perp BC$

∴$EF// AD($垂直于同一条直线的两条直线平行$)$

∴$∠CEF = ∠AGE($两直线平行，同位角相等)

∴$∠AGE=\frac 12∠BEC，$即$∠BEC = 2∠AGE$

$ (2)$由$(1)，$得$EF//AD$

∴$∠BEF = ∠BAD，$$∠CEF = ∠AGE$

∵$∠CEF = ∠BEF$

∴$∠AGE = ∠BAD$

∴$EA = EG($等角对等边$)$

∴$\triangle AEG $是等腰三角形

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