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$55^{\circ}$

 证明：因为$AC\perp BC，$$AD\perp BD，$所以$\angle ACB=\angle BDA = 90^{\circ}。$

 在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle BAD$中，

 $\begin{cases}AB = BA\\BC = AD\end{cases}，$

 所以$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle BAD(HL)。$

 所以$\angle CBE=\angle DAF。$

 因为$CE\perp AB，$$DF\perp AB，$所以$\angle CEB=\angle DFA = 90^{\circ}。$

 在$\triangle BCE$和$\triangle ADF$中，

 $\begin{cases}\angle CEB=\angle DFA\\\angle CBE=\angle DAF\\BC = AD\end{cases}，$

 所以$\triangle BCE\cong\triangle ADF(AAS)。$

 所以$CE = DF。$

 解：因为$AD$是$\triangle ABC$的高，所以$\angle BDF=\angle ADC = 90^{\circ}。$

 在$Rt\triangle BDF$和$Rt\triangle ADC$中，

 $\begin{cases}BF = AC\\FD = CD\end{cases}，$

 所以$Rt\triangle BDF\cong Rt\triangle ADC(HL)。$

 所以$\angle DBF=\angle DAC。$

 因为$\angle DAC+\angle C=\angle BDF = 90^{\circ}，$

 所以$\angle AEB=\angle DBF+\angle C = 90^{\circ}。$

 所以$BE\perp AC。$

 （1）证明：因为$AD$是$\triangle ABC$的中线，所以$BD = CD。$

 因为$BE\perp AD，$$CF\perp AD，$所以$\angle BED=\angle F = 90^{\circ}。$

 在$\triangle BED$和$\triangle CFD$中，

 $\begin{cases}\angle BED=\angle F\\\angle BDE=\angle CDF\\BD = CD\end{cases}，$

 所以$\triangle BED\cong\triangle CFD(AAS)。$

 所以$BE = CF。$

 （2）证明：在$Rt\triangle BGE$和$Rt\triangle CAF$中，

 $\begin{cases}BG = CA\\BE = CF\end{cases}，$

 所以$Rt\triangle BGE\cong Rt\triangle CAF(HL)。$

 所以$GE = AF。$

 所以$GE - AE=AF - AE，$即$AG = EF。$

 因为$\triangle BED\cong\triangle CFD，$所以$DE = DF。$

 因为$EF = DE + DF = 2DE，$所以$AG = 2DE。$