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$\frac{2}{3}$

 证明：如图，过点$O$作$OE\perp AB$于点$E。$

$\because\angle C = 90^{\circ}，$即$OC\perp AC，$$AO$平分$\angle CAB，$
$\therefore OC = OE。$同理，可得$OD = OE，$
$\therefore OC = OD$

 证明：$\because BD$平分$\angle ABC，$$\therefore\angle ABE=\angle CBE。$

在$\triangle ABE$和$\triangle CBE$中，

$\begin{cases}AB = CB\\\angle ABE=\angle CBE\\BE = BE\end{cases}，$
$\therefore\triangle ABE\cong\triangle CBE(SAS)。$
$\therefore\angle AEB=\angle CEB。$$\therefore\angle AED=\angle CED，$即$ED$平分$\angle AEC。$

又$\because DF\perp AE，$$DG\perp CE，$
$\therefore DF = DG$

$\triangle CDF$

 （1）证明：$\because AD$平分$\angle BAC，$$DE\perp AB，$$DF\perp AC，$$\therefore DE = DF，$$\angle BED=\angle F = 90^{\circ}。$

在$Rt\triangle BDE$和$Rt\triangle CDF$中，

$\begin{cases}BD = CD\\DE = DF\end{cases}，$
$\therefore Rt\triangle BDE\cong Rt\triangle CDF(HL)$  

（2）解：在$Rt\triangle ADE$和$Rt\triangle ADF$中，

$\begin{cases}AD = AD\\DE = DF\end{cases}，$
$\therefore Rt\triangle ADE\cong Rt\triangle ADF(HL)。$
$\therefore AE = AF。$$\because AE = 6cm，$$\therefore AF = 6cm。$
$\because AC = 4cm，$$\therefore CF = AF - AC=6 - 4 = 2cm。$

由（1），可知$Rt\triangle BDE\cong Rt\triangle CDF，$
$\therefore BE = CF。$$\therefore BE = 2cm$