第45页 - 通城学典课时作业本八年级数学人教版南通专版

C

$24^{\circ}$

$38^{\circ}$

6

解：设$∠CAD = 2x°$，则$∠DAB = 5x°$。

$∵DE$垂直平分$AB$，

$∴BD = AD$。

在$Rt\triangle DEB$和$Rt\triangle DEA$中，

$\{\begin {array}{l}BD = AD，\\DE = DE，\end {array}.$

$∴Rt\triangle DEB\cong Rt\triangle DEA$。

$∴∠B=∠DAE = 5x°$。$∴∠ADC = 10x°$。

在$\triangle ADC$中，$∵∠C = 90°$，

$∴2x°+10x°=90°$，解得$x = 7.5$。

$∴∠ADC = 75°$

解：(1) 连接 $ BD$，$ CD$。$∵AD$ 平分 $∠BAC$，$ DM\perp AB$，$ DN\perp AC$，

$∴DM = DN$。$∵DE$ 垂直平分 $ BC$，$∴BD = CD$。

在 $ Rt\triangle BDM$ 和 $ Rt\triangle CDN$ 中，

$\begin {cases}BD = CD，\\DM = DN，\end {cases}$

$∴Rt\triangle BDM\cong Rt\triangle CDN$。$∴BM = CN$

(2) $∵AM = AB - BM$，$ AN = AC + CN$，$ BM = CN$，

$∴AM + AN = AB + AC$。

在 $ Rt\triangle ADM$ 和 $ Rt\triangle ADN$ 中，

$\begin {cases}AD = AD，\\DM = DN，\end {cases}$

$∴Rt\triangle ADM\cong Rt\triangle ADN$。

$∴AM = AN$。$∴AM=\frac {1}{2}(AB + AC)$