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 解：过点$D$作$AF$的平行线交$BC$于点$G。$

 因为$DG// AF，$所以$\angle FCE = \angle DGE，$$\angle DGB=\angle ACB。$

 又因为$AB = AC，$所以$\angle ABC = \angle ACB。$

 所以$\angle ABC=\angle DGB，$则$DG = BD。$

 因为$BD = CF，$所以$DG = CF。$

 在$\triangle DGE$和$\triangle FCE$中，

$\begin{cases}\angle DGE=\angle FCE \\ \angle DEG=\angle FEC \\ DG = FC\end{cases}，$

 所以$\triangle DGE\cong\triangle FCE(AAS)。$

 所以$DE = FE。$

 (1) 证明：如图，因为$EF// AD，$所以$\angle 1=\angle 4，$$\angle 2=\angle P。$

 因为$AD$平分$\angle BAC，$所以$\angle 1=\angle 2。$

 所以$\angle 4=\angle P。$

 所以$AF = AP，$即$\triangle APF$是等腰三角形。

 (2) 猜想：$AB = PC。$

 证明：因为$CH// AB，$所以$\angle 5 = \angle B，$$\angle H=\angle 1。$

 因为$EF// AD，$所以$\angle 1=\angle 3。$

 所以$\angle H = \angle 3。$

 在$\triangle BEF$和$\triangle CDH$中，

$\begin{cases}\angle B=\angle 5 \\ \angle 3=\angle H \\ BE = CD\end{cases}，$

 所以$\triangle BEF\cong\triangle CDH(AAS)。$

 所以$BF = CH。$

 因为$AD$平分$\angle BAC，$所以$\angle 1=\angle 2。$

 所以$\angle 2=\angle H。$

 所以$AC = CH。$

 所以$AC = BF。$

 因为$AB = AF + BF，$$PC = AP + AC，$$AF = AP，$

 所以$AB = PC。$

 证明：延长$AD$交$BC$于点$F。$

 因为$AD$是$\angle BAC$的平分线，所以$\angle BAD=\angle CAD。$

 因为$\angle DFE=\angle B+\angle BAD，$$\angle DAE=\angle EAC+\angle CAD，$$\angle B = \angle EAC，$

 所以$\angle DFE=\angle DAE。$

 所以$AE = FE。$

 因为$ED\perp AD，$根据等腰三角形三线合一，所以$ED$平分$\angle AEB。$