电子课本网 › 第55页

第55页

信息发布者：

 证明：如图，延长$BA，$$CD$交于点$Q。$

 因为$\angle CAQ=\angle BAE=\angle BDC = 90^{\circ}，$

 所以$\angle ACQ+\angle Q = 90^{\circ}，$$\angle ABE+\angle Q = 90^{\circ}。$

 所以$\angle ACQ=\angle ABE。$

 在$\triangle ABE$和$\triangle ACQ$中，

$\begin{cases}\angle ABE=\angle ACQ \\ AB = AC \\ \angle BAE=\angle CAQ\end{cases}，$

 所以$\triangle ABE\cong\triangle ACQ(ASA)。$

 所以$BE = CQ。$

 因为$BD$平分$\angle ABC，$所以$\angle QBD=\angle CBD。$

 因为$\angle BDC = 90^{\circ}，$所以$\angle BDC=\angle BDQ = 90^{\circ}。$

 在$\triangle QDB$和$\triangle CDB$中，

$\begin{cases}\angle QBD=\angle CBD \\ BD = BD \\ \angle BDQ=\angle BDC\end{cases}，$

 所以$\triangle QDB\cong\triangle CDB(ASA)。$

 所以$QD = CD。$

 所以$BE = CQ = 2CD。$

 解：在线段$DC$上取一点$E，$使$DE = DB，$连接$AE。$

 因为$AD$是$\triangle ABC$的高，所以$AD\perp BC。$

 所以$AD$垂直平分$BE，$则$AB = AE。$

 因为$\angle BAD = 38^{\circ}，$所以$\angle AEB=\angle B = 90^{\circ}-\angle BAD = 52^{\circ}。$

 因为$AB + BD = DC，$$DE + CE = DC，$所以$AB = CE。$

 所以$AE = CE。$

 所以$\angle EAC=\angle C。$

 因为$\angle AEB=\angle EAC+\angle C = 2\angle C，$所以$\angle C=\frac{1}{2}\angle AEB = 26^{\circ}。$

 证明：在$BC$上取点$E，$使$BE = BA，$连接$DE。$

 因为$BD$平分$\angle ABC，$所以$\angle ABD=\angle EBD。$

 在$\triangle ABD$和$\triangle EBD$中，

$\begin{cases}AB = EB \\ \angle ABD=\angle EBD \\ BD = BD\end{cases}，$

 所以$\triangle ABD\cong\triangle EBD(SAS)。$

 所以$\angle BAC=\angle BED = 108^{\circ}。$

 所以$\angle DEC = 180^{\circ}-\angle BED = 72^{\circ}。$

 因为$AB = AC，$所以$\angle C=\angle ABC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAC)=36^{\circ}。$

 所以$\angle CDE = 180^{\circ}-\angle C-\angle DEC = 72^{\circ}=\angle DEC。$

 所以$CD = CE。$

 所以$BC = BE + EC = AB + CD。$

 证明：如图，作$\angle ACB$的平分线交$AB$于点$E，$连接$ED，$

 则$\angle ACB = 2\angle ECB。$

 因为$\angle ACB = 2\angle B，$所以$\angle B=\angle ECB。$

 所以$CE = EB。$

 又因为$AD$为$BC$边上的中线，所以$BD = CD=\frac{1}{2}BC。$

 所以$ED\perp BC，$$\angle EDC = 90^{\circ}。$

 又因为$AC=\frac{1}{2}BC，$所以$AC = CD。$

 在$\triangle AEC$和$\triangle DEC$中，

$\begin{cases}AC = DC \\ \angle ACE=\angle DCE \\ CE = CE\end{cases}，$

 所以$\triangle AEC\cong\triangle DEC(SAS)。$

 所以$\angle BAC=\angle EDC = 90^{\circ}。$