解： 因为$\triangle ABC$是等边三角形，
所以$\angle A = \angle C=60^{\circ}，$$AB = BC = AC = 4。$
因为$D$是$AB$的中点，所以$AD = BD = 2。$
因为$DF\perp AC，$
所以$\angle AFD = 90^{\circ}，$则$\angle ADF=90^{\circ}-\angle A = 30^{\circ}，$
所以$AF=\frac{1}{2}AD = 1。$ 那么$CF=AC - AF=3。$
又因为$FH\perp BC，$所以$\angle FHC = 90^{\circ}，$$\angle HFC=90^{\circ}-\angle C = 30^{\circ}，$
所以$CH=\frac{1}{2}CF=\frac{3}{2}。$
所以$BH = BC - CH=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$
