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$\frac{7}{3}$

解： (1) 证明：连接$BE。$

 因为$\angle ACB = 90^{\circ}，$$\angle A = 30^{\circ}，$所以$\angle ABC = 60^{\circ}。$

 因为$DE$垂直平分$AB，$所以$BE = AE，$所以$\angle ABE=\angle A = 30^{\circ}。$

 所以$\angle CBE=\angle ABC-\angle ABE = 30^{\circ}。$

 在$Rt\triangle BCE$中，根据含$30^{\circ}$角的直角三角形的性质，$BE = 2CE，$所以$AE = 2CE。$

 (2) $\triangle BCD$是等边三角形。

 理由：因为$DE$垂直平分$AB，$所以$\angle ADE=\angle BDE = 90^{\circ}。$

 因为$\angle A = 30^{\circ}，$在$Rt\triangle ADE$中，$AE = 2DE。$

由

 (1)知$AE = 2CE，$所以$DE = CE，$所以$\angle EDC=\angle ECD。$

 因为$\angle DEC=\angle A+\angle ADE = 120^{\circ}，$所以$\angle EDC=\angle ECD=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle DEC)=30^{\circ}。$

 所以$\angle DCB=\angle ACB-\angle ECD = 60^{\circ}，$$\angle BDC=\angle BDE-\angle EDC = 60^{\circ}。$

 又因为$\angle ABC = 60^{\circ}，$所以$\triangle BCD$是等边三角形。

 解：(1) 因为$AB = AC，$$\angle BAC = 120^{\circ}，$

所以$\angle B=\angle C=\frac{1}{2}\times(180^{\circ}-\angle BAC)=30^{\circ}。$

 因为$BD = BE，$所以$\angle BDE=\angle BED=\frac{1}{2}\times(180^{\circ}-\angle B)=75^{\circ}。$

 因为$AB = AC，$$AD$是边$BC$上的中线，

所以$AD\perp BC，$$\angle ADB = 90^{\circ}。$

 所以$\angle ADE=\angle ADB-\angle BDE = 15^{\circ}。$

 (2) 因为$MF$垂直平分$CD，$所以$DF = CF。$

 因为$\angle C = 30^{\circ}，$所以$\angle FDC=\angle C = 30^{\circ}，$

所以$\angle AFD=\angle C+\angle FDC = 60^{\circ}。$

由

 (1)知$AD\perp BC，$所以$\angle ADC = 90^{\circ}，$

所以$\angle DAF=90^{\circ}-\angle C = 60^{\circ}。$

 所以$\angle DAF=\angle AFD=\angle ADF = 60^{\circ}，$

所以$\triangle ADF$是等边三角形。

 (3) 因为$MF$垂直平分$CD，$

所以$\angle FMC = 90^{\circ}，$$DF = CF。$

 因为$\angle C = 30^{\circ}，$$MF = 2，$

在$Rt\triangle FMC$中，$CF = 2MF = 4，$所以$DF = CF = 4。$

 因为$\triangle ADF$是等边三角形，所以$AF = DF = 4。$

 因为$AC = AF + CF=8，$

又因为$AB = AC，$所以$AB = 8。$