解：$\because$等腰三角形的周长为$45\mathrm{cm}，$一腰上的中线将这个三角形的周长分为$3:2$的两部分，
$\therefore$这两部分的周长分别为$27\mathrm{cm}，$$18\mathrm{cm}.$
设等腰三角形的腰长为$x\mathrm{cm}，$底边长为$y\mathrm{cm}.$
根据题意，得$\begin{cases}x+\dfrac{x}{2}=27,\\y+\dfrac{x}{2}=18\end{cases}$或$\begin{cases}x+\dfrac{x}{2}=18,\\y+\dfrac{x}{2}=27\end{cases}，$解得$\begin{cases}x = 18,\\y = 9\end{cases}$或$\begin{cases}x = 12,\\y = 21\end{cases}.$
经检验，$\begin{cases}x = 18,\\y = 9\end{cases}$和$\begin{cases}x = 12,\\y = 21\end{cases}$都符合三角形的三边关系.
$\therefore$这个等腰三角形的腰长为$18\mathrm{cm}$或$12\mathrm{cm}$
