电子课本网 › 第61页

第61页

信息发布者：

$80^{\circ}$

解：$(1)$

∵$∠CAB = ∠CBA = ∠CDE = ∠CED = 50°，$

∴$CA = CB，$$CD = CE，$

$∠ACB = ∠DCE = 180° - 2×50° = 80°。$

∵$∠ACB - ∠DCB = ∠DCE - ∠DCB，$

即$∠ACD = ∠BCE。$

在$△ACD$和$△BCE$中，

$\{\begin {array}{l}CA = CB，\\∠ACD = ∠BCE，\\CD = CE，\end {array}.$

∴$△ACD≌△BCE。$

∴$AD = BE$

解： (1)①证明：

 因为$\angle BAC = \angle DAE，$

所以$\angle BAC+\angle CAE=\angle DAE+\angle CAE，$即$\angle BAE = \angle CAD。$

 在$\triangle BAE$和$\triangle CAD$中，

 $\begin{cases}BA = CA\\\angle BAE=\angle CAD\\AE = AD\end{cases}，$

所以$\triangle BAE\cong\triangle CAD(SAS)。$所以$BE = CD。$

 ②因为$\triangle BAE\cong\triangle CAD，$所以$\angle ABE = \angle ACD。$

 由①，知$BE = CD，$又因为$M，$$N$分别为$BE，$$CD$的中点，所以$BM = CN。$

 在$\triangle ABM$和$\triangle ACN$中，

 $\begin{cases}AB = AC\\\angle ABM=\angle ACN\\BM = CN\end{cases}，$

所以$\triangle ABM\cong\triangle ACN(SAS)。$所以$AM = AN。$

 (2)$(1)$中的两个结论仍然成立。

 理由：由题意，易得点$A，$$D，$$B$在同一条直线上。

 在$\triangle BAE$和$\triangle CAD$中，

 $\begin{cases}BA = CA\\\angle BAE=\angle CAD\\AE = AD\end{cases}，$

所以$\triangle BAE\cong\triangle CAD(SAS)。$

所以$\angle ABE = \angle ACD，$$BE = CD。$

 因为$M，$$N$分别为$BE，$$CD$的中点，所以$BM = CN。$

 在$\triangle ABM$和$\triangle ACN$中，

 $\begin{cases}AB = AC\\\angle ABM=\angle ACN\\BM = CN\end{cases}，$

所以$\triangle ABM\cong\triangle ACN(SAS)。$

所以$AM = AN。$

解： (1)$\triangle OBC\cong\triangle ABD。$

 理由：因为$\triangle AOB，$$\triangle CBD$都是等边三角形，

所以$OB = AB，$$CB = DB，$
$\angle BOA=\angle OAB=\angle OBA=\angle DBC = 60^{\circ}。$

 所以$\angle OBA+\angle ABC=\angle DBC+\angle ABC，$即$\angle OBC=\angle ABD。$

 在$\triangle OBC$和$\triangle ABD$中，

 $\begin{cases}OB = AB\\\angle OBC=\angle ABD\\CB = DB\end{cases}，$

所以$\triangle OBC\cong\triangle ABD(SAS)。$

 (2)因为$\triangle OBC\cong\triangle ABD，$所以$\angle BOC=\angle BAD = 60^{\circ}。$

 又因为$\angle OAB = 60^{\circ}，$所以$\angle OAE=180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}。$

 所以$\angle EAC = 120^{\circ}，$$\angle OEA = 30^{\circ}。$

 当以$A，$$E，$$C$为顶点的三角形是等腰三角形时，$AE$和$AC$是腰。

 因为$A(1,0)，$所以$OA = 1。$

 在$Rt\triangle AOE$中，因为$\angle OEA = 30^{\circ}，$所以$AE = 2OA = 2。$

 所以$AC = AE = 2。$

 所以$OC=1 + 2=3。$

 所以$C(3,0)。$

 所以当点$C$的坐标为$(3,0)$时，以$A，$$E，$$C$为顶点的三角形是等腰三角形。