第38页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

C

A

$解：(1)选择①②$ $ 在△BEO和△DFO中$ $ \begin{cases}∠1=∠2\\OB=OD\\∠BOE=∠DOF\end{cases}$ $ ∴△BEO≌△DFO(\mathrm {ASA})$ $ (2)∵△BEO≌△DFO$ $ ∴OE=OF$ $ ∵AE=CF$ $ ∴AE+OE=CF+OF，即OA=OC$ $ ∵OA=OC，OB=OD$ $ ∴四边形ABCD是平行四边形$

$证明：(1)∵点D是BC的中点 $

$∴BD=CD$

$ ∵CF//BE$

$∴∠BED=∠CFD$

$ 在△BDE和△CDF 中$

$ \begin{cases}∠BDE=∠CDF\\∠BED=∠CFD\\BD=CD\end{cases}$

$ ∴△BDE≌△CDF(\mathrm {AAS})$

$ (2)由△BDE≌△CDF 可知，DE=DF，CD=BD$

$ ∴四边形BECF是平行四边形$

$证明：如图，连接 B G 、 D H$ $∵四边形 A B C D 是平行四边形$ $ ∴A B=C D， A D=B C， A B / / C D $ $ ∴\angle A B E=\angle C D F $ $ ∵A E \perp B D， C F \perp B D$ $ ∴\angle A E B=\angle C F D=90° $ $在 \triangle A B E 和 \triangle C D F 中$ $ \begin{cases}\angle A B E= \angle C D F\\\angle A E B=\angle C F D\\A B=C D\end{cases}$ $ ∴\triangle A B E≌ \triangle C D F(\mathrm {AAS}) $ $ ∴B E=D F$ $ ∵G 、 H 分别为 A D 、 B C 的中点$ $ ∴D G=B H $ $∴四边形 B H D G 是平行四边形$ $ ∴O G=O H， O B=O D $ $ ∴O B-B E=O D-D F$ $ ∴O E= O F ，即 E F 、 G H 互相平分$

【解析】
1. 分析条件①：根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，由$AB = CD$且$AB // CD$，可判定四边形$ABCD$是平行四边形；
2. 分析条件②：根据“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”，由$∠A = ∠C$，$∠B = ∠D$，可判定四边形$ABCD$是平行四边形；
3. 分析条件③：$AB = AD$，$BC = CD$是两组邻边分别相等，只能判定四边形为筝形，不能判定为平行四边形；
4. 分析条件④：根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，由$AB = CD$，$AD = BC$，可判定四边形$ABCD$是平行四边形。
综上，能判定的有①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定定理
【点评】
本题考查平行四边形的判定定理，需准确掌握不同判定条件，注意区分邻边相等与对边相等的差异，加深对判定定理的理解和运用。
【难度系数】
0.7

【解析】
设平行四边形$ABCD$的面积为$S$。
因为$E$是$BC$的中点，所以$BE=\frac{1}{2}BC$，$△ ABE$的高与平行四边形$ABCD$的高相等，因此$S_{△ ABE}=\frac{1}{4}S$。
根据图形性质分析：
1. $△ AEC$：$EC=BE$，与$△ ABE$同高，故$S_{△ AEC}=S_{△ ABE}=\frac{1}{4}S$；
2. 平行四边形对角线互相平分，$O$为$AC$、$BD$中点，因此$△ AOB$、$△ BOC$、$△ COD$、$△ DOA$的面积均为$\frac{1}{4}S$，都与$△ ABE$面积相等。
综上，与$△ ABE$面积相等的三角形共5个。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题结合平行四边形的性质与三角形面积公式，通过分析底和高的关系寻找面积相等的三角形，需要准确梳理图形中各三角形的面积关系，避免漏数或多数。
【难度系数】
0.4

【解析】
(1) 示例：选取条件①$OB=OD$，②$∠1=∠2$，证明如下：
在$△ BEO$和$△ DFO$中，
$\{\begin{array}{l}∠1=∠2\\OB=OD\\∠BOE=∠DOF（对顶角相等）\end{array} $
$\therefore △ BEO≌△ DFO(ASA)$
（也可选取①③，利用SAS证明；或选取②③，利用AAS证明，过程类似）
(2) 由(1)中$△ BEO≌△ DFO$，可得$BO=DO$，$EO=FO$。
$\because AE=CF$，
$\therefore AE+EO=CF+FO$，即$AO=CO$。
又$\because BO=DO$，
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
【答案】
(1) 选取任意两个条件均可证明$△ BEO≌△ DFO$，证明过程见解析；
(2) 四边形$ABCD$是平行四边形，证明见解析。
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 平行四边形的判定
【点评】
本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定，熟练掌握相关判定定理与性质是解题关键，需灵活选取条件完成证明。
【难度系数】
0.6

【解析】
(1) 证明：
∵ $CF// BE$，
∴ $∠E = ∠F$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $D$ 是边 $BC$ 的中点，
∴ $BD = CD$。
在 $△BDE$ 和 $△CDF$ 中，
$\begin{cases}∠E = ∠F \\∠BDE = ∠CDF \\BD = CD\end{cases}$
∴ $△BDE ≌ △CDF$（AAS）；
(2) 四边形 $BECF$ 是平行四边形，理由如下：
∵ $△BDE ≌ △CDF$，
∴ $DE = DF$。
又
∵ $BD = CD$，即四边形 $BECF$ 的对角线互相平分，
∴ 四边形 $BECF$ 是平行四边形。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) 四边形 $BECF$ 是平行四边形，理由见上述解析。
【知识点】
全等三角形的判定，平行四边形的判定
【点评】
本题考查全等三角形与平行四边形的综合运用，需熟练掌握全等三角形的判定定理及平行四边形的判定定理，利用平行线性质获取全等条件是解题突破口。
【难度系数】
0.6

【解析】
连接BG、DH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD，AD = BC，AB//CD，
∴∠ABE = ∠CDF。
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB = ∠CFD = 90°。
在△ABE和△CDF中，
$\{\begin{array}{l}∠ABE = ∠CDF\\∠AEB = ∠CFD\\AB = CD\end{array} $
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴BE = DF。
∵G、H分别为AD、BC的中点，
∴DG = $\frac{1}{2}$AD，BH = $\frac{1}{2}$BC，
又
∵AD = BC，
∴DG = BH，且DG//BH，
∴四边形BHDG是平行四边形，
∴OG = OH，OB = OD。
∵OB - BE = OD - DF，
∴OE = OF，
∴EF、GH互相平分。
【答案】
EF、GH互相平分，证明如上。
【知识点】
平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题通过构造辅助线，综合运用平行四边形和全等三角形的判定与性质完成证明，考查了对相关几何定理的理解与综合运用能力，需熟练掌握平行四边形和全等三角形的核心知识点。
【难度系数】
0.6