第40页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

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$证明：∵四边形ABCD是矩形 $ $∴AB=CD,∠A=∠D$ $ ∵AE=DF $ $ 在△ABF 和△DCE中$ $ \begin{cases}AB=CD\\∠A=∠D\\AF=DE\end{cases}$ $∴△ABF≌△DCE(\mathrm {SAS})$ $ ∴BF=CE$

B

4.8

$证明：(1)∵四边形 A B C D 是矩形$ $ ∴ D C / / A B $ $ ∴ \angle D C A=\angle C A B $ $ ∵ \angle E D C=\angle C A B$ $ ∴ \angle E D C=\angle D C A $ $ ∴ A C / / D E$ $ (2) ∵∠EDC=∠FAB，∠DEC=∠AFB，DC=AB$ $ ∴ \triangle D E C ≌ \triangle A F B $ $ ∴ D E=A F$ $ ∴四边形 A D E F 是平行四边形$ $ ∴ A D / / E F， A D=E F $ $ 又∵ A D / / B C $ $ ∴ E F / / B C， E F=B C$ $ ∴四边形 B C E F 是平行四边形$

相等

4

解：等边三角形

【解析】
矩形的邻边与对角线构成直角三角形，根据勾股定理可得对角线长为$\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$；矩形面积为邻边长的乘积，即$3×4 = 12$。
【答案】
$5cm$；$12 cm^{2}$
【知识点】
矩形的性质、勾股定理
【点评】
本题考查矩形的基本性质及勾股定理的应用，属于基础题型，需熟练掌握矩形对角线与邻边的关系以及面积计算方法。
【难度系数】
0.9

【解析】
(1) 根据矩形的对角线相等的性质，已知AC=4，因此BD=AC=4；
(2) 因为四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，所以AO=½AC=2，BO=½BD=2，又AB=2，可得AO=BO=AB，故△AOB是等边三角形。
【答案】
(1) 相等；4
(2) 等边三角形
【知识点】
矩形的性质；等边三角形判定
【点评】
本题考查矩形的核心性质与等边三角形的判定，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8

【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠D=90°。
∵AE=DF，
∴AE+EF=DF+EF，即AF=DE。
在△ABF和△DCE中，
$\{\begin{array}{l}AB=CD\\∠A=∠D\\AF=DE\end{array} $
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴BF=CE。
【答案】
BF=CE
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题考查矩形性质与全等三角形的综合应用，需熟练掌握矩形的边和角的性质，通过转化线段长度得到全等条件，进而利用全等三角形对应边相等完成证明，属于基础几何证明题。
【难度系数】
0.8

【解析】
在矩形ABCD中，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°。
因为∠BAF=60°，所以∠DAF=90°-60°=30°。
由折叠性质可知，△ADE≌△AFE，故∠DAE=∠FAE=15°，∠D=∠AFE=90°。
在Rt△ABF中，∠AFB=90°-∠BAF=90°-60°=30°，
则∠EFC=180°-∠AFE-∠AFB=180°-90°-30°=60°。
在Rt△EFC中，∠FEC=90°-∠EFC=90°-60°=30°。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质、折叠的性质、直角三角形内角和
【点评】
本题以矩形折叠为背景，考查矩形与折叠的性质及角度计算，需准确把握折叠前后的全等关系，结合直角三角形角度特征求解，属于基础几何题。
【难度系数】
0.6

【解析】
1. 连接OP，设矩形ABCD对角线AC、BD交于点O。
2. 已知AB=6，BC=8，矩形中AD=BC=8，∠ABC=90°，由勾股定理得AC=√(AB²+BC²)=√(6²+8²)=10。
3. 矩形对角线互相平分且相等，故OA=OD=1/2AC=5；矩形面积S=AB×BC=6×8=48，△AOD的面积为1/4S=12。
4. 设点P到AC的距离为PE，到BD的距离为PF，则S△AOD=S△AOP+S△DOP=1/2×OA×PE + 1/2×OD×PF。
5. 代入OA=OD=5，得1/2×5×(PE+PF)=12，解得PE+PF=24/5=4.8。
【答案】
4.8
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，面积法求线段长
【点评】
本题综合考查矩形性质与面积法的应用，通过转化思想将点到两条对角线的距离之和转化为三角形面积计算，需熟练掌握矩形对角线性质及面积的多种表达形式。
【难度系数】
0.6

【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ DC//AB，
∴ ∠DCA = ∠CAB（两直线平行，内错角相等），
又
∵ ∠EDC = ∠CAB，
∴ ∠EDC = ∠DCA，
∴ AC//DE（内错角相等，两直线平行）。
(2) 四边形BCEF是平行四边形，理由如下：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ DC=AB，∠ADC=90°，
∵ ∠DEC=90°，BF⊥AC，
∴ ∠DEC=∠AFB=90°，
在△DEC和△AFB中，
$\{\begin{array}{l}∠DEC=∠AFB\\∠EDC=∠FAB\\DC=AB\end{array} $
∴ △DEC≌△AFB（AAS），
∴ DE=AF，
又
∵ AC//DE，即DE//AF，
∴ 四边形ADEF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴ AD//EF，AD=EF，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，AD=BC，
∴ EF//BC，EF=BC，
∴ 四边形BCEF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) 四边形BCEF是平行四边形，理由见上述解析。
【知识点】
矩形的性质，平行线的判定，平行四边形的判定
【点评】
本题综合考查矩形、平行线、平行四边形的相关性质与判定，解题关键是熟练运用矩形的性质找到角与边的关系，通过全等三角形及平行四边形的判定定理逐步推导。
【难度系数】
0.6