第48页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

$证明：(1)∵BD平分∠ABC $ $ ∵AB=BC，∠ABD=∠CBD，BD=BD$ $ ∴△ABD≌△CBD(\mathrm {SAS})$ $ ∴∠ADB=∠CDB$ $(2) ∵P M \perp A D， P N \perp C D$ $ ∴\angle P M D=90°， \angle P N D=90° $ $ 又 \angle A D C=90°$ $ ∴四边形 M P N D 是矩形$ $ 又 ∵\angle A D B=\angle C D B 、 P M \perp A D 、 P N \perp C D$ $ ∴P M=P N$ $ ∴四边形 M P N D 为正方形$

C

$解：连接BP$ $ ∵PE⊥AB，PF⊥BC，∠ABC=90°$ $ ∴四边形EBFP 是矩形$ $ ∴BP=EF$ $ ∵AB=AD，∠BAP=∠DAP，AP=AP$ $ ∴△ABP≌△ADP$ $ ∴DP=BP=EF=2$

$证明：(1) ∵ A B=B C=C D=A D， A E =B F=C M=D N ， $ $ ∴ B E=D M=A N=C F $ $ 又∵\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90° $ $ 利用勾股定理，可得 E F= F M=M N=E N ， $ $ 且 \angle N E F=\angle E F M=\angle F M N=\angle E N M=90° $ $ ∴四边形 E F M N 是正方形$ $ (2) 由勾股定理，得 E F=5 ，$ $ ∴周长为 20$

【解析】
(1) 证明：
∵ 对角线BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠CBD。
在△ABD和△CBD中，
$\{\begin{array}{l}AB = BC \\∠ABD = ∠CBD \\BD = BD\end{array} $
∴ △ABD ≌ △CBD（SAS），
∴ ∠ADB = ∠CDB。
(2) 证明：
∵ PM⊥AD，PN⊥CD，
∴ ∠PMD = ∠PND = 90°。
又
∵ ∠ADC = 90°，
∴ 四边形MPND是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）。
由(1)知∠ADB = ∠CDB，且PM⊥AD，PN⊥CD，
∴ PM = PN（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴ 矩形MPND是正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) 证明见上述解析。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 角平分线的性质
3. 正方形的判定
【点评】
本题主要考查全等三角形、角平分线及正方形的相关知识，需要熟练掌握全等三角形的判定定理、角平分线的性质以及正方形的判定方法，通过逐步推理完成证明，培养逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

【解析】
设中下方小正方形的边长为$ x $，观察图形可得：矩形的长$ BC = 3x + 1 $，矩形的长$ AD = 2x + 5 $。根据矩形对边相等的性质，可列方程$ 3x + 1 = 2x + 5 $，解得$ x = 4 $。由此可得矩形的长为$ 3×4 + 1 = 13 $，宽为$ (4 + 1) + (4 + 2) = 11 $，因此矩形图案的面积为$ 13×11 = 143 $。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题需通过观察图形分析各正方形边长的关系，利用矩形对边相等建立一元一次方程求解，考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.5

【解析】
1. 连接BP。
2. 因为PE⊥AB，PF⊥BC，∠ABC=90°，所以∠PEB=∠PFB=∠ABC=90°，四边形EBFP是矩形，根据矩形对角线相等，得BP=EF=2。
3. 因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD，∠BAP=∠DAP=45°。
4. 在△ABP和△ADP中，$\{\begin{array}{l} AB=AD\\ ∠BAP=∠DAP\\ AP=AP\end{array} $，所以△ABP≌△ADP（SAS），故PB=PD。
5. 因此PD=EF=2。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题通过连接辅助线BP，利用矩形的性质将EF转化为BP，再结合正方形的性质证明三角形全等，实现BP到PD的转化，考查了线段转化的数学思想，关键是合理构造辅助线建立已知与未知的联系。
【难度系数】
0.6

【解析】
(1) 因为四边形ABCD是正方形，所以AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠C=∠D=90°。
已知AE=BF=CM=DN，所以AB-AE=BC-BF=CD-CM=AD-DN，即BE=CF=DM=AN。
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，
$\{\begin{array}{l}AE=BF=CM=DN\\∠A=∠B=∠C=∠D\\AN=BE=CF=DM\end{array} $
所以△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM（SAS），
因此EN=EF=FM=MN，∠AEN=∠BFE。
因为∠BEF+∠BFE=90°，所以∠BEF+∠AEN=90°，即∠NEF=90°。
又因为EN=EF=FM=MN，所以四边形EFMN是正方形。
(2) 已知AB=7，AE=3，则BE=AB-AE=7-3=4。
在Rt△BEF中，由勾股定理得$EF=\sqrt{BE^2+BF^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
所以四边形EFMN的周长为$4×5=20$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\boldsymbol{20}$
【知识点】
正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题结合全等三角形与勾股定理考查正方形的判定与性质，需熟练掌握正方形的判定条件，理清图形中边与角的等量关系是解题关键。
【难度系数】
0.6