【解析】
(1) 观察多项式$a^{2}x^{2} - ax$，各项的公因式为$ax$，提取公因式得：$ax(ax - 1)$；
(2) 观察多项式$-14abc - 7ab + 49ab^{2}c$，各项的公因式为$-7ab$，提取公因式得：$-7ab(2c + 1 - 7bc)$；
(3) 观察多项式$18x^{n + 1} - 24x^{n}$，各项的公因式为$6x^{n}$，提取公因式得：$6x^{n}(3x - 4)$（或$6(3x - 4)x^{n}$）；
(4) 观察多项式$2m(a - b) - 3n(a - b)$，将$(a - b)$看作整体，公因式为$(a - b)$，提取公因式得：$(a - b)(2m - 3n)$；
(5) 先将$(b + a)$转化为$(a + b)$，多项式$15(a + b)^{2} + 3y(a + b)$的公因式为$3(a + b)$，提取公因式得：$3(a + b)(5a + 5b + y)$；
(6) 先将$(y - x)^{2}$转化为$(x - y)^{2}$，多项式$4(x - y)^{3} - 6(x - y)^{2}$的公因式为$2(x - y)^{2}$，提取公因式得：$2(x - y)^{2}(2x - 2y - 3)$。
【答案】
(1) $ax(ax - 1)$；(2) $-7ab(2c + 1 - 7bc)$；(3) $6x^{n}(3x - 4)$（或$6(3x - 4)x^{n}$）；(4) $(a - b)(2m - 3n)$；(5) $3(a + b)(5a + 5b + y)$；(6) $2(x - y)^{2}(2x - 2y - 3)$
【知识点】
1. 提取公因式法分解因式；2. 整体思想在因式分解中的应用；3. 公因式的确定
【点评】
本题为因式分解的基础题型，主要考查提取公因式法分解因式。解题关键在于准确确定各项的公因式，注意符号的变化，以及将互为相反数的因式转化为相同因式，同时运用整体思想把多项式中的部分式子看作一个整体，有助于提升对因式分解基本方法的理解与运用能力。
【难度系数】
0.8
