第66页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

提公因式法

解：数形结合思想。例如，边长为$a$和$b$（$a ＞ b$）的大正方形与小正方形的面积差为$a^2 - b^2，$也可以表示为一个长为$(a + b)$、宽为$(a - b)$的长方形的面积，即$(a + b)(a - b)，$从而解释$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$的因式分解过程。

C

D

B

D

1

-18

70

33

-1

【解析】
因式分解的定义是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此逐一分析选项：
选项A：是整式乘法运算，将两个整式的积转化为多项式，不符合因式分解的定义；
选项B：变形后的结果不是几个整式的积的形式，不符合因式分解的定义；
选项C：将多项式$(a + b)^2 - 2(a + b) + 1$转化为$(a + b - 1)^2$，即两个整式$(a + b - 1)$的积的形式，符合因式分解的定义；
选项D：变形后出现了分式$\frac{4}{x}$，不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的概念，核心是判断变形是否将多项式转化为几个整式的积的形式，需注意区分整式乘法与因式分解的互逆关系，同时要避免出现含分式的错误变形。
【难度系数】
0.8

【解析】
将$(x - 4)(x + 7)$展开：
$(x - 4)(x + 7) = x^2 + 7x - 4x - 28 = x^2 + 3x - 28$，
因为$x^2 + mx - 28 = (x - 4)(x + 7)$，
对比对应项系数可得$m = 3$。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式、因式分解的逆运算
【点评】
本题考查因式分解与整式乘法的互逆关系，通过展开因式分解后的式子，对比对应项系数即可求出参数值，思路直接，易于掌握。
【难度系数】
0.8

【解析】
完全平方式的形式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，需满足“首平方，尾平方，首尾两倍乘积在中央”的结构特征，逐项分析：
选项A：$x^2+2xy+4y^2$，中间项应为$2· x·2y=4xy$，与原式$2xy$不符，不是完全平方式；
选项B：$25m^2+10mn+n^2=(5m)^2+2·5m· n+n^2=(5m+n)^2$，符合完全平方式的结构，是完全平方式；
选项C：$a^2+ab+b^2$，中间项应为$2ab$，与原式$ab$不符，不是完全平方式；
选项D：$x^2-2xy-\frac{1}{4}y^2$，尾项为负，不符合完全平方式尾项为正的特征，不是完全平方式。
【答案】
B
【知识点】
完全平方式的定义
【点评】
本题考查完全平方式的识别，重点在于熟练掌握完全平方式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$的结构特征，通过对比各选项的项与完全平方式的对应项，即可准确判断。
【难度系数】
0.8

【解析】
设两个连续奇数分别为$2n+1$和$2n-1$（$n$为整数），根据“幸福数”定义计算平方差：
$\begin{aligned}(2n+1)^2 - (2n-1)^2&=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]\\&=4n×2\\&=8n\end{aligned}$
由此可知“幸福数”是8的倍数。逐一分析选项：
A. $410÷8=51.25$，非整数，不是“幸福数”；
B. $401÷8=50.125$，非整数，不是“幸福数”；
C. $140÷8=17.5$，非整数，不是“幸福数”；
D. $104÷8=13$，是整数，是“幸福数”。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式应用；连续奇数的代数表示
【点评】
本题通过代数推导得出“幸福数”的特征，考查平方差公式的灵活运用及整除判断能力，需要学生具备基本的代数建模意识。
【难度系数】
0.6

【解析】
对所求代数式变形：
$m^{2} + 2mn + 2n = m(m + 2n) + 2n$
将$m + 2n = 1$代入上式得：
$m×1 + 2n = m + 2n$
再代入$m + 2n = 1$，可得结果为1。
【答案】
1
【知识点】
提公因式法因式分解，代数式求值
【点评】
本题考查代数式求值与整体思想的运用，通过提公因式将待求式转化为含已知条件的形式，整体代入可快速求解，注重对基础运算技巧的考查。
【难度系数】
0.8

【解析】
先对原式进行因式分解：
$a^{2}b^{3} - a^{3}b^{2}=a^{2}b^{2}(b - a)$
由积的乘方的性质可得$a^{2}b^{2}=(ab)^{2}$，已知$ab = 3$，则$(ab)^{2}=3^{2}=9$；
因为$a - b = 2$，所以$b - a = -2$；
将结果代入化简后的式子计算：$9×(-2)=-18$。
【答案】
-18
【知识点】
因式分解、代数式求值、积的乘方
【点评】
本题考查因式分解与代数式求值的综合应用，通过提取公因式将原式转化为含已知条件的形式，利用整体代入法简化运算，考查了转化思想的运用。
【难度系数】
0.8

【解析】
已知矩形的周长为14，可得$2(a+b)=14$，即$a+b=7$；
矩形的面积为10，可得$ab=10$。
对$a^{2}b + ab^{2}$因式分解，得$a^{2}b + ab^{2}=ab(a+b)$，
将$a+b=7$，$ab=10$代入，得$10×7=70$。
【答案】
70
【知识点】
提公因式法因式分解，代数式求值，矩形周长与面积公式
【点评】
本题考查提公因式法因式分解的应用及矩形周长、面积公式的运用，通过整体代入思想简化运算，降低计算难度，提升解题效率。
【难度系数】
0.8

【解析】
先对代数式因式分解：$m^2 - 4n^2=(m-2n)(m+2n)$，
由$m = 11 + 2n$移项得$m - 2n = 11$，
由$2n = 3 - m$移项得$m + 2n = 3$，
将$m - 2n = 11$，$m + 2n = 3$代入得：
原式$=11×3=33$。
【答案】
33
【知识点】
平方差公式，代数式求值
【点评】
本题考查平方差公式的应用及代数式求值，通过对已知条件变形得到可整体代入的式子，简化计算过程，体现整体思想的运用。
【难度系数】
0.7

【解析】
将原式配方变形：
$\begin{aligned}2x^{2} + 2xy + y^{2} - 2x + 1&=0\\(x^{2}+2xy+y^{2})+(x^{2}-2x+1)&=0\\(x+y)^{2}+(x-1)^{2}&=0\end{aligned}$
由于平方数具有非负性，即$(x+y)^{2}≥0$，$(x-1)^{2}≥0$，要使两个非负数的和为0，则每个非负数均为0，可得：
$\begin{cases}x+y=0\\x-1=0\end{cases}$
解得$x=1$，$y=-1$，因此$xy=1×(-1)=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质
【点评】
本题考查完全平方公式的应用及非负数的性质，通过配方将原式转化为两个非负数的和为0的形式，进而求出$x$、$y$的值，需熟练掌握配方技巧。
【难度系数】
0.4