第67页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

解：$原式=(y^2 - 1)(x^2 + 2x + 1)$

$=(y+1)(y-1)(x+1)^2$

解：$原式=a(a^4 - \frac{1}{2}a^2b^2 + \frac{1}{16}b^4)$

$=a(a^2 - \frac{1}{4}b^2)^2$

$=a(a + \frac{1}{2}b)^2(a - \frac{1}{2}b)^2$

解：$原式=5a[(x^2 + 1)^2 - 4x^2]$

$=5a[(x^2 + 1 + 2x)(x^2 + 1 - 2x)]$

$=5a(x+1)^2(x-1)^2$

解：$原式=8(x+2y)^2 - (x+2y)^4 - 16$

$=-[(x+2y)^4 - 8(x+2y)^2 + 16]$

$=-[(x+2y)^2 - 4]^2$

$=-(x+2y+2)^2(x+2y-2)^2$

4

解：$\because x^2 - 6x + 11 = x^2 - 6x + 9 - 9 + 11 = (x - 3)^2 + 2 ≥ 2$

$\therefore$ 当 $x = 3$ 时，$x^2 - 6x + 11$ 的最小值是 2

C

不彻底

$(x - 2)^4$

解：设 $x^2 - 2x = y$，则

原式 $= y(y + 2) + 1 $

$= y^2 + 2y + 1 $

$= (y + 1)^2 $

$= (x^2 - 2x + 1)^2 $

$= (x - 1)^4$

【解析】
(1) 先提取公因式$(y^2 - 1)$，再运用完全平方公式和平方差公式分解：
$\begin{aligned}原式&=(y^2 - 1)(x^2 + 2x + 1)\\&=(y+1)(y-1)(x+1)^2\end{aligned}$
(2) 先提取公因式$a$，再运用完全平方公式和平方差公式分解：
$\begin{aligned}原式&=a(a^4 - \frac{1}{2}a^2b^2 + \frac{1}{16}b^4)\\&=a(a^2 - \frac{1}{4}b^2)^2\\&=a(a + \frac{1}{2}b)^2(a - \frac{1}{2}b)^2\end{aligned}$
(3) 先提取公因式$5a$，再运用平方差公式和完全平方公式分解：
$\begin{aligned}原式&=5a[(x^2 + 1)^2 - 4x^2]\\&=5a[(x^2 + 1 + 2x)(x^2 + 1 - 2x)]\\&=5a(x+1)^2(x-1)^2\end{aligned}$
(4) 设$m=x+2y$，先运用完全平方公式，再运用平方差公式分解，最后代回：
$\begin{aligned}原式&=8m^2 - m^4 - 16\\&=-(m^4 - 8m^2 + 16)\\&=-(m^2 - 4)^2\\&=-(m+2)^2(m-2)^2\\&=-(x+2y+2)^2(x+2y-2)^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(y + 1)(y - 1)(x + 1)^2}$；
(2) $\boldsymbol{a(a + \frac{1}{2}b)^2(a - \frac{1}{2}b)^2}$；
(3) $\boldsymbol{5a(x + 1)^2(x - 1)^2}$；
(4) $\boldsymbol{-(x + 2y + 2)^2(x + 2y - 2)^2}$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题考查因式分解的综合运用，需先观察式子特点提取公因式，再多次运用完全平方公式、平方差公式进行分解，注意整体思想的运用，分解要彻底，直到不能再分解为止。
【难度系数】
0.4

【解析】
(1) 对于完全平方式$x^2 - 4x + k$，根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，其中$a=x$，$2ab=4x$，可得$b=2$，则$k=b^2=2^2=4$。
(2) 对代数式$x^2 - 6x + 11$进行配方：
$x^2 - 6x + 11 = x^2 - 6x + 9 - 9 + 11 = (x - 3)^2 + 2$，
因为任何实数的平方都是非负数，即$(x - 3)^2 ≥ 0$，所以$(x - 3)^2 + 2 ≥ 2$，因此不论$x$取何值，该代数式的值总是正数；
当$(x - 3)^2=0$时，即$x=3$，代数式的值最小，最小值为2。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$
(2) 不论$x$取何值，代数式$x^2 - 6x + 11$的值总是正数；当$\boldsymbol{x=3}$时，代数式的值最小，最小值是$\boldsymbol{2}$。
【知识点】
完全平方式、配方法、代数式最值
【点评】
本题考查配方法的综合应用，需掌握完全平方式的特征，熟练运用配方法变形代数式，体会数学转化思想在解题中的作用。
【难度系数】
0.7

【解析】
(1) 第二步得到$y^2+8y+16$，第三步将其变形为$(y+4)^2$，符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的形式，因此运用了完全平方公式，选C。
(2) 该同学第四步的结果为$(x^2 - 4x + 4)^2$，其中$x^2 - 4x + 4$还可分解为$(x-2)^2$，所以因式分解不彻底，最后结果为$(x - 2)^4$。
(3) 模仿换元法：设$x^2 - 2x = y$，将原式转化为关于$y$的多项式，展开后利用完全平方公式分解，再将$y$回代，最后继续分解彻底得到结果。
【答案】
(1) C
(2) 不彻底；$(x - 2)^4$
(3) 设$x^2 - 2x = y$，则原式$= y(y + 2) + 1 = y^2 + 2y + 1 = (y + 1)^2 = (x^2 - 2x + 1)^2 = (x - 1)^4$
【知识点】
换元法因式分解、完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的方法与应用，重点考查换元法和完全平方公式的运用，强调因式分解需分解到每一个因式都不能再分解为止，培养整体代换的数学思想。
【难度系数】
0.6