第90页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

解：分式有意义的条件：分式的分母不等于0；
分式无意义的条件：分式的分母等于0；
分式值为0的条件：分子等于0且分母不等于0。

解：最简公分母：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母；
最大公因式：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式，其中系数取各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幂；
分式混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的。

解：解分式方程必须检验的原因：因为分式方程化为整式方程后，整式方程的解可能使原分式方程的分母为0，所以解分式方程必须检验；
检验方法：将整式方程的解代入原分式方程的分母中，若分母不等于0，则是原分式方程的解；若分母等于0，则不是原分式方程的解；
产生增根的原因：把分式方程化为整式方程时，方程两边同乘了一个可能使分母为0的整式。

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 解：原式$= \left( \frac{x(x + 1) - x}{x + 1} \right) \div \left( \frac{x^2 - 1 + 1}{x^2 - 1} \right)$
$= \frac{x^2 + x - x}{x + 1} \div \frac{x^2}{x^2 - 1}$
$= \frac{x^2}{x + 1} \times \frac{(x - 1)(x + 1)}{x^2}$
$= x - 1$
因为$-3 ＜ x ＜ 3，$且$x + 1 \neq 0，$$x^2 - 1 \neq 0，$$x \neq 0，$所以$x$可取2或-2。
当$x = 2$时，原式$= 2 - 1 = 1；$当$x = -2$时，原式$= -2 - 1 = -3$

解：去分母：方程两边同乘$(x-3)$，得$x = 2(x-3) + m$ 解整式方程：展开括号得$x = 2x - 6 + m$，

移项合并同类项得$x = 6 - m$ 因为方程有正数解，所以$x ＞ 0$，即$6 - m ＞ 0$，

解得$m ＜ 6$ 又因为分式方程分母不能为0，即$x ≠ 3$，所以$6 - m ≠ 3$，

解得$m ≠ 3$ 综上，$m$的取值范围是$m ＜ 6$且$m ≠ 3$

【解析】
结合知识结构图，梳理分式及分式方程的相关知识，逐一回答对应问题：
1. 围绕分式有意义、无意义、值为0的核心条件分析；
2. 明确最简公分母、最大公因式的定义，以及分式混合运算的顺序；
3. 从分式方程化为整式方程的变形特点，分析检验的必要性、检验方法和增根产生的原因。
【答案】
（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；
分式无意义的条件：分式的分母等于0；
分式值为0的条件：分子等于0且分母不等于0。
（2）最简公分母：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母；
最大公因式：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式，其中系数取各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幂；
分式混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的。
（3）解分式方程必须检验的原因：因为分式方程化为整式方程后，整式方程的解可能使原分式方程的分母为0，所以解分式方程必须检验；
检验方法：将整式方程的解代入原分式方程的分母中，若分母不等于0，则是原分式方程的解；若分母等于0，则不是原分式方程的解；
产生增根的原因：把分式方程化为整式方程时，方程两边同乘了一个可能使分母为0的整式。
【知识点】
分式的相关概念，分式的运算，分式方程的解法
【点评】
通过知识结构图梳理分式整章知识，能帮助构建清晰的知识网络，加深对分式及分式方程相关概念、运算、解法的理解与记忆。
【难度系数】
0.8

【解析】
1. 分式无意义的条件是分母为0，当$x=-2$时，分式$\frac{x^{2}-b}{x + a}$无意义，则$x+a=0$，即$-2+a=0$，解得$a=2$。
2. 分式值为0的条件是分子为0且分母不为0，当$x=2$时，分式的值为0，则分子$x^2 - b=0$，即$2^2 - b=0$，解得$b=4$，此时分母$2+a=2+2=4≠0$，符合条件。
3. 因此$a+b=2+4=6$。
【答案】
6
【知识点】
分式无意义的条件、分式值为0的条件
【点评】
本题考查分式无意义及分式值为0的条件，需注意分式值为0时需同时满足分子为0且分母不为0，切勿遗漏分母不为0的限制条件。
【难度系数】
0.8

【解析】
1. 化简原式：
（1）计算第一个括号内的部分：
$x-\frac{x}{x + 1}=\frac{x(x+1)}{x+1}-\frac{x}{x+1}=\frac{x^2+x - x}{x+1}=\frac{x^2}{x+1}$
（2）计算第二个括号内的部分：
$1+\frac{1}{x^2 - 1}=\frac{x^2 - 1}{x^2 - 1}+\frac{1}{x^2 - 1}=\frac{x^2}{(x-1)(x+1)}$
（3）将除法转化为乘法并约分：
原式$=\frac{x^2}{x+1} ÷ \frac{x^2}{(x-1)(x+1)}=\frac{x^2}{x+1} × \frac{(x-1)(x+1)}{x^2}=x - 1$
2. 确定x的取值：
由分式有意义的条件可知，$x+1≠0$，$x^2 - 1≠0$，$x≠0$，即$x≠ -1,1,0$。
在$-3 ＜ x ＜ 3$的整数中，合适的x为2或-2。
3. 代入求值：
当$x=2$时，原式$=2-1=1$；
当$x=-2$时，原式$=-2-1=-3$
【答案】
化简结果为$x - 1$；当$x=2$时，值为$1$；当$x=-2$时，值为$-3$
【知识点】
分式的化简求值、分式有意义的条件
【点评】
本题重点考查分式的化简运算，需熟练掌握通分、约分的方法，同时要注意选取x值时必须保证分式有意义，避免代入使分母为0的整数。
【难度系数】
0.6

【解析】
1. 去分母：方程两边同乘$(x-3)$，得$x = 2(x-3) + m$；
2. 解整式方程：展开括号得$x = 2x - 6 + m$，移项合并同类项得$x = 6 - m$；
3. 根据题意列不等式：
因为方程有正数解，所以$x ＞ 0$，即$6 - m ＞ 0$，解得$m ＜ 6$；
又因为分式方程分母不能为0，即$x ≠ 3$，所以$6 - m ≠ 3$，解得$m ≠ 3$；
4. 综上，$m$的取值范围是$m ＜ 6$且$m ≠ 3$。
【答案】
$m ＜ 6$ 且 $m ≠ 3$
【知识点】
分式方程的解、一元一次不等式求解、分式方程增根
【点评】
本题考查分式方程的解与参数取值范围的综合应用，需同时兼顾解为正数的条件和分式方程分母不为0的隐含条件，容易忽略增根情况导致取值范围不完整，解题时需严谨考虑所有限制条件。
【难度系数】
0.6