第91页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

C

A

≠ -1

1

$\frac{100x - 6}{-500x - 25}$

$2y - \frac{3}{y} = 2$

3

$解：原式=\frac{b}{a - b}+\frac{a}{a + b}+\frac{2ab}{(a - b)(a + b)}$

$=\frac{b(a + b) + a(a - b) + 2ab}{(a - b)(a + b)}$

$=\frac{ab + b^2 + a^2 - ab + 2ab}{(a - b)(a + b)}$

$=\frac{(a + b)^2}{(a - b)(a + b)}$

$=\frac{a + b}{a - b}$

$解：原式=\frac{a - b}{ab}·\frac{ab}{(a - b)(a + b)}$

$=\frac{1}{a + b}$

 解：$\frac{4a^2 - 25b^2}{4a^2 + 20ab + 25b^2}$
$=\frac{(2a - 5b)(2a + 5b)}{(2a + 5b)^2}$
$=\frac{2a - 5b}{2a + 5b}$
因为$2a = 3b，$所以原式$=\frac{3b - 5b}{3b + 5b}$
$=\frac{-2b}{8b}$
$=-\frac{1}{4}$

【解析】
首先分析$\frac{a^2}{a}$的取值范围：分式中分母不能为0，故$a≠0$，此时$\frac{a^2}{a}$约分后为$a$，即当$a≠0$时，两个代数式的值相等；
当$a=0$时，$\frac{a^2}{a}$无意义，而$a=0$有意义，因此它们不是同一个代数式；
当$a＜0$且$a≠0$时，$\frac{a^2}{a}=a$，值相等。
综上，选项C正确。
【答案】
C
【知识点】
分式有意义的条件、分式约分
【点评】
本题主要考查分式的相关概念与性质，重点在于区分分式与整式的定义域，明确分式分母不为0是解题关键，需注意代数式的定义域对其值的影响。
【难度系数】
0.8

【解析】
先对分式进行通分，两个分式的最简公分母为$a(a + 1)$：
$\begin{aligned}\frac{1}{a + 1}+\frac{1}{a(a + 1)}&=\frac{a}{a(a + 1)}+\frac{1}{a(a + 1)}\\&=\frac{a + 1}{a(a + 1)}\\&=\frac{1}{a}\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
分式的加法运算、约分
【点评】
本题主要考查分式的加减运算，解题关键是掌握分式通分和约分的方法，熟练运用分式加减的基本运算法则。
【难度系数】
0.8

【解析】
1. 去分母：方程两边同时乘以$3x - 1$，得$1 = 2(3x - 1)$；
2. 去括号：$1 = 6x - 2$；
3. 移项、合并同类项：$6x = 3$；
4. 系数化为1：$x = \frac{1}{2}$；
5. 检验：将$x = \frac{1}{2}$代入$3x - 1$，得$3×\frac{1}{2}-1=\frac{1}{2}≠0$，故$x = \frac{1}{2}$是原分式方程的解。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的解法
【点评】
本题考查分式方程的基本求解方法，解题关键在于正确去分母并检验根的合理性，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.8

【解析】
要使分式$\frac{x^{2}-1}{x + 1}$有意义，则分母不为零，即$x+1≠0$，解得$x≠ -1$；
要使该分式的值为0，则分子为零且分母不为零，由$x^2-1=0$得$x=1$或$x=-1$，结合分母$x+1≠0$，即$x≠ -1$，所以$x=1$。
【答案】
≠ -1；1
【知识点】
分式有意义的条件、分式值为0的条件
【点评】
本题考查分式有意义及分式值为0的条件，需注意分式值为0时，必须同时满足分子为0且分母不为0，不能忽略分母的限制条件。
【难度系数】
0.9

【解析】
根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘一个不为0的整数，分式的值不变。观察分子、分母中各项的小数系数，给分子、分母同时乘以500，可将各项系数化为整数：
分子：$(0.2x - 0.012)×500 = 0.2x×500 - 0.012×500 = 100x - 6$；
分母：$(-x - 0.05)×500 = -x×500 - 0.05×500 = -500x - 25$；
因此原分式化为$\dfrac{100x - 6}{-500x - 25}$。
【答案】
$\dfrac{100x - 6}{-500x - 25}$
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题考查分式基本性质的应用，解题关键是确定合适的整数，将分子、分母的小数系数化为整数，注意所乘的数不能为0，且需保证分式值不变。
【难度系数】
0.8

【解析】
已知设$ y = \frac{x}{x^{2}-1} $，则$ \frac{2x}{x^{2}-1}=2y $；
又$ \frac{3x^{2}-3}{x}=\frac{3(x^{2}-1)}{x}=\frac{3}{y} $，
将其代入原方程，可得$ 2y - \frac{3}{y}=2 $。
【答案】
$ 2y - \dfrac{3}{y} = 2 $
【知识点】
换元法解方程
【点评】
本题考查换元法在分式方程中的应用，关键是将原方程中的分式用所设的元表示，体现了整体代换的思想。
【难度系数】
0.6

【解析】
1. 确定增根：分式方程的分母为$x-3$，令$x-3=0$，得增根$x=3$。
2. 去分母化整式方程：方程两边同乘$(x-3)$，得$x - 2(x-3) = m$。
3. 代入增根求$m$：将$x=3$代入整式方程，$3 - 2×(3-3)=m$，解得$m=3$。
【答案】
3
【知识点】
分式方程的增根
【点评】
本题考查分式方程增根的应用，关键是理解增根的定义：增根是分式方程化为整式方程后，产生的使分式方程分母为0的根，需将增根代入整式方程求解参数。
【难度系数】
0.6

【解析】
(1) 先对分母变形，再通分化简：
$\begin{aligned}&\frac{b}{a - b}+\frac{a}{a + b}-\frac{2ab}{b^{2}-a^{2}}\\=&\frac{b}{a - b}+\frac{a}{a + b}+\frac{2ab}{(a - b)(a + b)}\\=&\frac{b(a + b) + a(a - b) + 2ab}{(a - b)(a + b)}\\=&\frac{ab + b^2 + a^2 - ab + 2ab}{(a - b)(a + b)}\\=&\frac{(a + b)^2}{(a - b)(a + b)}\\=&\frac{a + b}{a - b}\end{aligned}$
(2) 先计算括号内的分式减法，再进行乘法运算：
$\begin{aligned}&(\frac{1}{b}-\frac{1}{a})·\frac{ab}{a^{2}-b^{2}}\\=&\frac{a - b}{ab}·\frac{ab}{(a - b)(a + b)}\\=&\frac{1}{a + b}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{\dfrac{a + b}{a - b}}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{1}{a + b}}$
【知识点】
分式的加减运算；分式的乘除运算；平方差公式因式分解
【点评】
本题考查分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式运算法则，正确通分、约分，注意符号的合理变换。
【难度系数】
0.6

【解析】
1. 对分式的分子分母分别因式分解：
分子：$4a^2 - 25b^2 = (2a - 5b)(2a + 5b)$（平方差公式）
分母：$4a^2 + 20ab + 25b^2 = (2a + 5b)^2$（完全平方公式）
2. 约分简化分式：
$\frac{(2a - 5b)(2a + 5b)}{(2a + 5b)^2} = \frac{2a - 5b}{2a + 5b}$
3. 代入已知条件$2a = 3b$：
将$2a$替换为$3b$，得$\frac{3b - 5b}{3b + 5b} = \frac{-2b}{8b} = -\frac{1}{4}$
【答案】
$-\dfrac{1}{4}$
【知识点】
1. 分式化简求值
2. 因式分解公式（平方差、完全平方）
3. 整体代入法
【点评】
本题考查分式的化简求值，关键是通过因式分解对分式约分简化运算，再结合整体代入思想代入已知条件求解，需熟练掌握平方差公式、完全平方公式及整体代入的技巧。
【难度系数】
0.6