第97页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

$解：AB=\sqrt {1^2+1^2}=\sqrt 2$

$BC=\sqrt {2^2+2^2}=2\sqrt 2$

所以矩形ABCD的面积：

$AB·CD=\sqrt 2×2\sqrt 2=4$

解：依题意，$EF = \sqrt{2}，$$FG = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}。$

矩形$EFGH$的面积：$S = EF × FG = \sqrt{2} × 3\sqrt{2} = 6$

10

12

$\frac{2}{5}$

解：猜想：$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a ≥ 0$，$b ≥ 0$）

证明：设$\sqrt{a} = m$，$\sqrt{b} = n$（$m ≥ 0$，$n ≥ 0$），则$a = m^2$，$b = n^2$

$\sqrt{a} × \sqrt{b} = m × n = mn$，

$\sqrt{ab} = \sqrt{m^2n^2} = \sqrt{(mn)^2} = mn$，

所以$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$

解：二次根式乘法的性质：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，反之$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$

$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=\sqrt{9}×\sqrt{2}=3\sqrt{2}$

$解：原式= (2 × 3) × \sqrt{3 × 15}$

$= 6 × \sqrt{45}$

$= 6 × \sqrt{3^2 × 5}$

$= 6 × 3\sqrt{5}$

$= 18\sqrt{5}$

【解析】
(1) 方法一：利用勾股定理计算矩形的长和宽。
矩形ABCD的顶点在格点上，$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
矩形面积$S=AB×BC=\sqrt{5}×\sqrt{5}=5$；
方法二：补形法，用大正方形面积减去周围四个直角三角形的面积，
大正方形面积为$3×3=9$，每个直角三角形面积为$\frac{1}{2}×1×2=1$，四个三角形总面积为$4×1=4$，
所以矩形ABCD的面积$S=9-4=5$。
(2) 画图方法：$EF=\sqrt{2}$，可画为边长为1的小正方形的对角线；$FG=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，可画为边长为3的正方形的对角线（或由3个边长为1的小正方形对角线拼接），以此画出矩形EFGH。
矩形面积计算：$S=EF×FG=\sqrt{2}×3\sqrt{2}=6$。
【答案】
(1) 矩形ABCD的面积是5；
(2) 矩形EFGH的面积是6（画图略）。
【知识点】
勾股定理、矩形面积公式、二次根式运算
【点评】
本题考查勾股定理在格点图形中的应用，以及矩形面积计算和二次根式的乘法运算，通过数形结合的方式，帮助学生理解格点图形中边长的计算方法，提升几何直观能力。
【难度系数】
0.8

【解析】
(1)①先计算算术平方根：$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{25}=5$，则$\sqrt{4}×\sqrt{25}=2×5=10$；$\sqrt{4×25}=\sqrt{100}=10$。
②$\sqrt{9}=3$，$\sqrt{16}=4$，则$\sqrt{9}×\sqrt{16}=3×4=12$；$\sqrt{9×16}=\sqrt{144}=12$。
③$\sqrt{(\frac{2}{3})^2}=\frac{2}{3}$，$\sqrt{(\frac{3}{5})^2}=\frac{3}{5}$，则$\sqrt{(\frac{2}{3})^2}×\sqrt{(\frac{3}{5})^2}=\frac{2}{3}×\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$；$\sqrt{(\frac{2}{3})^2×(\frac{3}{5})^2}=\sqrt{(\frac{2}{5})^2}=\frac{2}{5}$。
(2)根据(1)的计算结果提出猜想，再利用算术平方根定义证明：
猜想：$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a ≥ 0$，$b ≥ 0$）
证明：设$\sqrt{a}=m$，$\sqrt{b}=n$（$m≥0$，$n≥0$），则$a=m^2$，$b=n^2$。
左边$\sqrt{a}×\sqrt{b}=m×n=mn$，
右边$\sqrt{ab}=\sqrt{m^2n^2}=\sqrt{(mn)^2}=mn$，
故$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a ≥ 0$，$b ≥ 0$）成立。
【答案】
(1)①10；10
②12；12
③$\frac{2}{5}$；$\frac{2}{5}$
(2)猜想：$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a ≥ 0$，$b ≥ 0$）
证明：设$\sqrt{a} = m$，$\sqrt{b} = n$（$m ≥ 0$，$n ≥ 0$），则$a = m^2$，$b = n^2$。
$\sqrt{a} × \sqrt{b} = m × n = mn$，
$\sqrt{ab} = \sqrt{m^2n^2} = \sqrt{(mn)^2} = mn$，
所以$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$。
【知识点】
二次根式乘法法则，算术平方根性质
【点评】
本题通过具体算式的计算归纳出二次根式乘法法则，渗透了从特殊到一般的数学思想，帮助理解法则的推导过程，提升归纳推理与逻辑证明能力。
【难度系数】
0.8

【解析】
二次根式乘法的性质：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，其逆用为$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$。利用该逆用性质化简二次根式时，可将被开方数拆分为一个完全平方数与另一个非负整数的乘积，再分别开方。
化简$\sqrt{18}$的步骤：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=\sqrt{9}×\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式乘法性质、二次根式化简
【点评】
本题考查二次根式乘法性质的逆运用，掌握该性质是进行二次根式化简的关键，属于基础题型，可帮助巩固二次根式的基本运算能力。
【难度系数】
0.9

【解析】
根据二次根式乘法法则，将系数与二次根式分别相乘：
$2\sqrt{3} × 3\sqrt{15}$
$= (2 × 3) × \sqrt{3 × 15}$
$= 6 × \sqrt{45}$
由于$45 = 9 × 5=3^2 × 5$，将45分解为$3^2 × 5$后进一步化简根式：
原式$= 6 × \sqrt{3^2 × 5}$
$= 6 × 3\sqrt{5}$
$= 18\sqrt{5}$
【答案】
$18\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式乘法运算、根式化简
【点评】
本题考查二次根式的乘法运算与化简，需熟练掌握二次根式乘法法则，学会通过分解被开方数的质因数来化简二次根式，夯实根式运算的基础能力。
【难度系数】
0.6