第15页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

A

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$证明：∵四边形ABCD是矩形$

$∴AB=CD，AB//CD，AD//BC，∠B=90°$

$∴∠GAF=∠HCE$

$∵G，H分别是AB，DC的中点$

$∴AG=BG，CH=DH$

$∴AG=CH$

$∵AE=CF$

$∴AF=CE$

$在△AFG与△CEH中$

$\begin{cases}{AG=CH}\\{∠GAF=∠HCE}\\{AF=CE}\end{cases}$

$∴△AFG≌△CEH(SAS)$

$∴GF=HE$

$ 同理GE=HF$

$∴四边形EGFH是平行四边形$

$解：∵四边形ABCD是矩形$

$∴∠B=90°$

$∴AC=\sqrt{AB^2+BC^2}= \sqrt{3^2+4^2}=5$

$由(1)可知四边形EGFH是平行四边形，连接GH$

$∵G，H分别是矩形ABCD的边AB，DC的中点$

$∴AG=DH，AG//DH$

$∴四边形AGHD是平行四边形$

$∴GH=BC=4$

$∴当EF=GH=4时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：$

$①如图①，AE=CF=t，则EF=5-2t=4，解得t=0.5$

$②如图②，AE=CF=t，EF=5-2(5-t)=4，解得t=4.5$

$综上所述，当t的值为0.5或4.5时，四边形EGFH为矩形。$