第59页 - 经纶学典学霸八年级数学上下册【江苏国标】

AE=DF

$\frac{n-1}{4} cm² $

$证明:(1)∵四边形ABCD$

$是正方形，$

$∴OA =OB，∠DAO=45°，$

$∠OBA = 45°，$

$∴∠OA M=∠OBN =135°.$

$∵ ∠EOF=90°，∠AOB=90°，$

$∴∠AOM=∠BON，∴△OAM≌△OBN (A SA )，$

$∴OM=ON，△OMN是等腰直角三角形.$

$解:(2)如图，过点O作OH⊥AD于点H，$

$∵正方形的边长为2，∴OH=HA=1.$

$∵OE=EM，∴HM=2，$

$∴OM=ON= \sqrt{2²+1²}=\sqrt{5}，$

$∴MN=\sqrt {5+5} = \sqrt{10}.$

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$证明:如图①，过点E作EM⊥BC于点M，则四边形ABME为矩形，则AB=EM，$

$在正方形ABCD中，AB=BC，$

$∴EM=BC.$

$∵EM⊥BC，\ $

$∴∠MEF+∠EFM=90°.$

$∵BG⊥EF，$

$∴∠CBG+∠EFM=90°，$

$∴∠CBG=∠MEF，$

$在△BCG和△EMF中，$

$\begin{cases}{ ∠CBG=∠MEF, }\ \\ { BC=EM, }\\{∠C=∠EMF,} \end{cases}\ $

$∴△BCG≌△EMF(ASA)，$

$∴EF=BG.$

$解:如图②，连接MN，$

$∵M、N关于EF对称，$

$∴MN⊥EF，过点E作 EH⊥BC于点H，$

$过点M作MG⊥CD于点G，$

$则EH⊥MG，$

$由(2)同理可得△EHF≌△MGN，$

$∴NG=HF.$

$∵AE=2，BF=4，$

$∴NG=HF=4-2=2.$

$又∵GC=MB=1，$

$∴NC=NG+CG=2+1=3.\ $