$证明:(1)∵四边形ABCD$
$是正方形，$
$∴OA =OB，∠DAO=45°，$
$∠OBA = 45°，$
$∴∠OA M=∠OBN =135°.$
$∵ ∠EOF=90°，∠AOB=90°，$
$∴∠AOM=∠BON，∴△OAM≌△OBN (A SA )，$
$∴OM=ON，△OMN是等腰直角三角形.$
$解:(2)如图，过点O作OH⊥AD于点H，$
$∵正方形的边长为2，∴OH=HA=1.$
$∵OE=EM，∴HM=2，$
$∴OM=ON= \sqrt{2²+1²}=\sqrt{5}，$
$∴MN=\sqrt {5+5} = \sqrt{10}.$
