第151页 - 经纶学典学霸八年级数学上下册【江苏国标】

B

$\sqrt {3}\ $

A

45°

$解:四边形BEHC为平行四边形，证明:$

$∵四边形FECG是矩形，\ $

$∴FG//EC，∠F=90°，∴∠CED=∠EHF.$

$∵四边形ABCD是矩形，\ $

$∴∠EDC=∠F=90°，AB=DC=FE.$

$在△EDC 和△HFE 中，\begin{cases}{∠CED=∠ EHF, }\ \\ {∠EDC=∠F , }\\{DC=FE,} \end{cases}\ \ $

$∴△EDC≌△HFE ( AAS).∴EH=EC.$

$∵矩形FECG由矩形ABCD旋转得到，$

$∴EH=EC=BC，EH//BC，$

$∴四边形 BEHC为平行四边形.$

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$证明:过点E作EQ⊥BC于点Q，作EP⊥CD于点P，如图①所示，$

$则 ∠EQC=∠EPC=90°.$

$∵四边形ABCD为正方形，$

$∴∠ACB=∠ACD=45°，∠BCD=90°，$

$∴∠EQC=∠EPC=∠BCD=90°，$

$∴四边形CPEQ为矩形.$

$∵∠ECQ=45°，∠EQC=90°，$

$∴△CEQ为等腰直角三角形，$

$∴CQ=EQ，$

$∴四边形CPEQ为正方形，$

$∴EP=EQ，∠PEQ=90°.$

$∵EF⊥DE，$

$∴∠DEF=90°，$

$∴∠DEP+∠PEF=∠PEF+∠FEQ=90°，$

$∴∠DEP=∠FEQ.$

$∵∠DPE=∠EQF，EP=EQ，$

$∴△DEP≌ △FEQ，$

$∴DE=EF，$

$∴平行四边形DEFG为菱形.$

$∵∠DEF=90°，$

$∴四边形DEFG为正方形.$

$证明:∵四边形ABCD为正方形，$

$∴AD=CD，∠ADC=90°.$

$∵四边形 DEFG为正方形，$

$∴DE=DG，$

$∴ ∠EDG=90°，$

$∴∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDG=90°，$

$∴∠ADE=∠CDG，$

$∴△DAE≌△DCG.$

$解:连接AG，如图②所示，$

$∵四边形ABCD为正方形，$

$∴∠DAC= ∠ACD=45°，$

$AD=CD=AB=3，$

$∠ADC=90°，$

$∴AC=\sqrt {AD²+CD²} =3\sqrt {2} .$

$∵ △DAE≌△DCG，$

$∴ ∠DAE=∠DCG=45°，CG=AE=4，$

$∴∠ACG=∠ACD+∠DCG=90°，$

$∴AG=\sqrt {AC²+CG²} = \sqrt{34}.$