第152页 - 经纶学典学霸八年级数学上下册【江苏国标】

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$BE=\frac{1}{2}AC $

$解:(1)①∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，$

$∴∠DMC=90°.∵四边形 CDEF是正方形，$

$∴DF⊥CE，DF=CE，∴∠DNC=90°，$

$ND=NC.又∵∠DMC+∠DNC=180°，$

$∴四边形DMCN是“直等补”四边形.$

$②如图①，过点N作NQ⊥CM于点Q，NP⊥MD，$

$交MD的延长线于点P，$

$∵∠NQM=∠NPD=∠PMQ=90°，$

$∴四边形MPNQ是矩形，$

$∴∠PNQ=∠DNC=90°，$

$即∠DNP+∠DNQ= ∠CNQ+∠DNQ，$

$∴∠DNP=∠CNQ. 在△NPD 和△NQC 中，\ $

$\begin{cases}{ ∠NPD=∠NQC, }\ \\ {∠PND=∠QNC,\ }\\{ND=NC,} \end{cases}\ $

$∴△NPD≌△NQC，∴S_{△NPD} =S_{△NQC} ，$

$NP=NQ，∴矩形MPNQ是正方形，$

$∴S_{四边形DMCN} =S_{正方形MPNQ} = \frac{1}{2} MN²= \frac{1}{2}\ $

$×(\sqrt {2} )²=1.$

$(2)△PEC周长的最小值为 \sqrt{65}+3. $

$解:操作一:$

$BE=\frac{1}{2}AC\ $

$操作二:$

$延长EM交AD于点N，如图①，$

$∵四边形ABCD是矩形，$

$∴∠ADC=90°.$

$∵四边形ECGF是矩形，$

$∴∠FEC=90°，$

$∴∠DEF=90°，$

$∴ ∠ADE=∠DEF=90°，$

$∴EF//AD，$

$∴ ∠DAM=∠MFE，∠ANM=∠FEN.$

$∵M是AF的中点，$

$∴AM=MF，△AMN≌△FME，\ $

$∴MN=ME.$

$∵∠NDE=90°，$

$∴DM=\frac{1}{2}NE=MN=ME，$

$∴DM=ME.\ $

$拓展延伸:$

$连接AC，如图②，$

$∴∠DCA=45°.$

$∵∠ECF=45°，$

$∴E点在AC上，$

$∴∠FEA=90°.$

$在Rt△AEF中，$

$∵M是AF的中点，$

$∴AM= FM=ME，DM=MF=AM，$

$∴ ∠MAE=∠MEA，∠DAM=∠MDA，DM=ME，$

$∴ ∠FME=2∠MAE，∠DMF=2∠DAM，\ $

$∴∠DME= 2∠DAM+2∠MAE=90°，$

$∴△DME是等腰直角三角形.$

$∵AD=5，$

$∴AC=5\sqrt {2} .$

$∵ EC=2\sqrt {2}，\ $

$∴AE=3\sqrt {2} .$

$在 Rt△AEF中，$

$AF=\sqrt{(3\sqrt {2} )²+(2\sqrt {2} )²}= \sqrt{26}，$

$∴ME=\frac{1}{2}AF=\frac{\sqrt {26} }{2}，$

$∴△DME的面积=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{26}}{2}×\frac{\sqrt{26}}{2}=\frac{13}{4}.$