解：$(1)$在$y=-x+3$中，令$x=0，$得$y=3；$令$y=0，$得$x=3$
∴$A(3，$$0)、$$B(0，$$3)$
把$A(3，$$0)、$$B(0，$$3)$代入$y=-x^2+bx+c$
得$\begin{cases}-9+3b+c=0\\c=3\end{cases} $解得$\begin{cases}b=2\\c=3\end{cases}$
∴抛物线对应的函数解析式为$y=-x^2+2x+3$
$(2)$如图，过点$P$作$PH⊥AB$于点$H，$$PM//y$轴交$AB$于点$M$
设点$P$的坐标为$(m，$$-\mathrm {m^2}+2m+3)$
则点$M$的坐标为$(m，$$-m+3)$
∴$PM=-\mathrm {m^2}+2m+3-(-m+3)=-\mathrm {m^2}+3m$
∴$S_{△ABP}=\frac 12PM ·|x_A-x_B|=\frac 12×(-\mathrm {m^2}+3m)×3=-\frac 32\ \mathrm {m^2}+\frac 92m$
∵$A(3，$$0)、$$B(0，$$3)$
∴易得$AB=3\sqrt {2}$
∴$S_{△ABP}=\frac 12AB ·PH=\frac {3\sqrt {2}}2PH$
∴$\frac {3\sqrt {2}}2PH=-\frac 32\ \mathrm {m^2}+\frac 92m，$即$PH=-\frac {\sqrt {2}}2\ \mathrm {m^2}+\frac {3\sqrt {2}}2m=-\frac {\sqrt {2}}2(m-\frac 32)^2+\frac {9\sqrt {2}}8$
∵$-\frac {\sqrt {2}}2＜0$
∴当$m=\frac 32$时，$PH$的长取最大值，最大值为$\frac {9\sqrt {2}}8$
此时$-\mathrm {m^2}+2m+3=-(\frac 32)^2+2×\frac 32+3=\frac {15}4$
∴点$P$的坐标为$(\frac 32，$$\frac {15}4)$
$(3)t$的值是$-2$或$2$
