第57页 - 通城学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

解：$(1) $∵$OA=OC=3$

∴$ A(- 3，$$0)，$$C(0，$$-3)$

∵抛物线$y=x^2+bx+c$经过点$A(- 3，$$0)，$$C(0，$$-3)$

将$A(-3，$$0)，$$C(0，$$- 3)$代入，得$\begin{cases}9-3b+c=0\\c=-3\end{cases} $解得$\begin{cases}b=2\\c=-3\end{cases}$

∴抛物线对应的函数解析式为$y=x^2+2x-3 $

$(2)$∵$ y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$

∴抛物线的对称轴为直线$x=-1$

∵$ B$是抛物线与$x$轴的另一个交点，$A(-3，$$0)$

∴易得$B(1，$$0)$

∴易得$BC=\sqrt {OB^2+OC^2}=\sqrt {1^2+3^2}=\sqrt {10}$

∵点$A，$$B$关于拋物线的对称轴对称且点$P$在对称轴上

∴$ AP=BP$

∴$PB+PC=PA +PC$

∴当$P，$$A，$$C$三点共线时，$PA+ PC$的值最小，即$△BCP$的周长最小

设直线$AC$对应的函数解析式为$y=kx +b_1(k≠0)$

$\begin{cases} -3k+b_1=0\\b_1=-3\end{cases} $解得$\begin{cases}k=-1\\b_1=-3\end{cases}$

∴直线$AC$对应的函数解析式为$y=-x-3$

当$x=-1$时，$y=-2$

∴点$P$的坐标为$(-1，$$-2)$

$(3) $设点$N$的坐标为$(t，$$t_2+2t-3)，$则点$M$的坐标为$(t，$$-t-3)$

∴$MN=-t-3-(t^2+2t-3)=-t^2-3t= -(t+\frac 32)^2+\frac 94$

∵$-1＜0$

当$t=-\frac 32$时，线段$MN$的长度最大，最大是$\frac 94，$易得此时点$N$的坐标为$(-\frac 32，$$-\frac {15}4)$

(2，3)

解：$ (1)$∵抛物线$y=ax^2+bx+c$过点$A(- 1，$$0)，$$B(3，$$0)，$$C(0，$$3)$

∴$\begin{cases}a-b+c=0\\9a+3b+c=0\\c=3\end{cases} $解得$\begin{cases}a=-1\\b=2\\c=3\end{cases}$

∴抛物线对应的函数解析式为$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$

∴顶点$D$的坐标是$(1，$$4) $

$(2) $设直线$BD$对应的函数解析式为$y=kx +n(k≠0)$

∵直线$y=kx+n$过点$B(3，$$0)，$$D(1，$$4)$

∴$\begin{cases}3k +n=0\\k+n=4\end{cases} $解得$\begin{cases}k=-2\\n=6\end{cases}$

∴直线$BD$对应的函数解析式为$y=- 2x+ 6$

∵点$P$在线段$BD$上

∴设点$P$的坐标为$(m，$$-2m+6)(1＜m＜3)$

∵$PM⊥x$轴于点$M$

∴$ PM=- 2m+6，$$OM= m$

∵$ A(-1，$$0)，$$C(0，$$3)$

∴$OA=1，$$OC=3$

设四边形$PMAC$的面积为$S$

则$S=\frac 12OA ·OC+\frac 12(PM+OC) ·OM=\frac 12×1×3+\frac 12(-2m+6+3) ·m$

$=-\mathrm {m^2}+\frac 92m+\frac 32=-(m-\frac 94)^2+\frac {105}{16}$

∵$-1<0$

∴当$m=\frac 94$时，四边形$PMAC$的面积最大，最大面积为$\frac {105}{16}$

在$y=-2x+6$中，当$x=\frac 94$时，$y=\frac 32$

∴点$P$的坐标是$(\frac 94，$$\frac 32)$

解：$(1)$将$O(0，$$0)$代入$y=x^2+(m-2)x+m-4，$得$m-4=0$

解得$m=4$

∵$m＞2$

∴$m=4$符合题意

∴$y=x^2+2x=(x+1)^2-1$

∴顶点$A$的坐标为$(-1，$$-1)$

$(2)$由题意得顶点坐标为$(\frac {2-m}2，$$\frac {-\mathrm {m^2}+8m-20}4)$

∵$m＞2$

∴$\frac {2-m}2＜0$

∵$\frac {-\mathrm {m^2}+8m-20}4=-\frac 14(m-4)^2-1，$$-\frac 14(m-4)^2≤0$

∴$-\frac {1}{4}(m-4)^2-1<0 $

∴二次函数$ y=x^2+(m-2) x+m- 4 $图象的顶点在第三象限

$(3) $设平移后的二次函数图象对应的解析式为$ y=x^2+b x+c ，$

则其顶点坐标为$ (-\frac {b}{2}，$$ \frac {4\ \mathrm {c}-b^2}{4}) $

当$ x=0 $时，$ y=c$

∴点$ B $的坐标为$ (0，$$ c) $

将$ (-\frac {b}{2}，$$ \frac {4\ \mathrm {c}-b^2}{4}) $代入$ y=-x-2 ，$ 得$ \frac {4\ \mathrm {c}-b^2}{4}=\frac {b}{2}-2 $

解得$ c=\frac {b^2+2\ \mathrm {b}-8}{4} $

∵点$ B(0，$$ c) $在$ y $轴的负半轴上

∴$c<0 $

∴$O B=-c=-\frac {b^2+2\ \mathrm {b}-8}{4} $

过点$ A $作$ A H \perp O B ，$ 垂足为$ H $

∵$A(-1，$$-1)$

∴$A H=1 $

∴$S_{\triangle A O B}=\frac {1}{2}\ \mathrm {O} B ·A H=\frac {1}{2} ×(-\frac {b^2+2\ \mathrm {b}-8}{4}) ×1=-\frac {1}{8}\ \mathrm {b}^2- \frac {1}{4}\ \mathrm {b}+1=-\frac {1}{8}(b+1)^2+\frac {9}{8}$

∴$-\frac {1}{8}<0$

∴当$ b=-1 $时，$ \triangle A O B $的面积有最大值，最大值为$ \frac {9}{8} $

此时$ c=\frac {(-1)^2+2 ×(-1)-8}{4}= -\frac {9}{4}<0 ，$符合题意

∴$\triangle A O B $面积的最大值为$ \frac {9}{8} $