解：$(1)$∵抛物线$C_{1}$对应的函数解析式为$y=a(x-3)²+2$
∴易得抛物线$C_{1}$的最高点坐标为$(3，$$2)$
∵点$A(6，$$1)$在抛物线$C_{1}：$$y=a(x-3)²+2$上
∴$1=a(6-3)²+2$
∴$a=- \frac {1}{9} $
∴抛物线$C_{1}$对应的函数解析式为$y=- \frac {1}{9} (x-3)²+2$
当$x=0$时，$c=1$
$(2)$∵嘉嘉在$x$轴上方$1m $的高度上，且到点$A$水平距离不超过$1m $的范围内可以接到沙包
∴回传沙包(看成点)最近到达点$(5，$$1)，$最远到达点$(7，$$1)$
当抛物线$C_{2}$经过点$(5，$$1)$时，$1=-\frac {1}{8}×25+\frac {n}{8}×5+1+1$
解得$n=\frac {17}{5}$
当抛物线$C_{2}$经过点$(7，$$1)$时，$1=-\frac {1}{8}×49+\frac {n}{8}×7+1+1$
解得$n=\frac {41}{7}$
∴$\frac {17}{5}≤n≤ \frac {41}{7}$
∵$n$为整数
∴符合条件的整数值为$4$和$5$
