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解：$ (1)$∵对称轴为直线$x= \frac {9}{4}$

∴$-\frac {b}{2a} = \frac {9}{4}，$得$b=- \frac {9}{2}\ \mathrm {a}①$

将$A(3，$$-3)$代入$y=ax²+bx，$得$9a+3b=-3②$

联立(①②，可得$a= \frac {2}{3}，$$b=-3$

∴该抛物线对应的函数解析式为$y=\frac {2}{3} x²-3x $

$(2) $由题意，可设$B(m，$$\frac {2}{3}\ \mathrm {m}²-3m)$

如图①，过点$A$作$EF⊥y$轴于点$E，$过点$B$作$BF⊥EF，$交$EF $于点$F$

则易得$E(0，$$-3)，$$F(m，$$-3)$

∴$S_{△OAB}= \frac {1}{2} ×m×(\frac {2}{3}\ \mathrm {m}²-3m+3+3)- \frac {1}{2} ×3×3- \frac {1}{2} ×(m-3)×(\frac {2}{3}\ \mathrm {m}²-3m+3)=18$

解得$m=6$或$m=-3($不合题意，舍去)

∴$\frac {2}{3}\ \mathrm {m}²-3m=6$

∴$B(6，$$6) $

$(3)$存在，∵$A(3，$$-3)，$$B(6，$$6)，$且$C$为线段$AB$的中点

∴$C(\frac {9}{2}，$$\frac {3}{2})$

易得直线$OB$对应的函数解析式为$y=x$

设$P(t、$$t)，$如图②，当$BP $为平行四边形的对角线时，$BC//A_1P，$$BC=A_1P$

∵$AC=BC$

∴$AC=A_1P$

由对称性，可知$AC=A_1C，$$AP=A_1P$

∴$AP=AC$

∴$\sqrt {(t-3)²+(t+3)²}= \sqrt {(3-\frac {9}{2})^2+(-3-\frac {3}{2})^2}$

解得$t=±\frac {3}{2}$

∴点$P $的坐标为$(\frac {3}{2}，$$\frac {3}{2})$或$(-\frac {3}{2}，$$-\frac {3}{2})$

如图③，当$BC$为平行四边形的对角线时，$BP//A_1C，$$BP=A_1C$

由对称性，可知$ AC=A_1C$

∴$BP=AC$

∴$\sqrt {(6-t)²+(6-t)²}=\sqrt {(3-\frac {9}{2})^2+(-3-\frac {3}{2})^2}$

解得$t=\frac {3\sqrt {5}}{2}+6$或$t=-\frac {3\sqrt {5}}{2}+6$

∴点$ P $的坐标为$ (\frac {3\sqrt {5}}{2}+6，$$\frac {3\sqrt {5}}{2}+6)$或$ (-\frac {3\sqrt {5}}{2}+6，$$-\frac {3\sqrt {5}}{2}+6)$

综上所述，点$ P $的坐标为$ (\frac {3}{2}，$$\frac {3}{2})$或$(-\frac {3}{2}，$$ -\frac {3}{2})$或$(\frac {3\sqrt {5}}{2}+6，$$\frac {3\sqrt {5}}{2}+6)$或$(-\frac {3\sqrt {5}}{2}+6，$$-\frac {3\sqrt {5}}{2}+6)$

解：$ (1) $当$ x=0 $时，$ y=4$

∴$C(0，$$4) $

当$ y=0 $时，$ \frac {4}{3} x+4=0 ，$ 解得$ x=-3$

∴$A(-3，$$0) $

∵对称轴为直线$ x=-1$

∴易得$ B(1，$$0)$

∴可设抛物线对应的函数解析式为$ y=a(x-1)(x+ 3 )$

把$ C(0，$$4) $代入，得$ 4=-3\ \mathrm {a} $

解得$ a=-\frac {4}{3} $

∴抛物线对应的函数解析式为$ y=-\frac {4}{3}(x-1)(x+3)=-\frac {4}{3} x^2-\frac {8}{3} x+4 $

$ (2) $如图，过点$ D $作$ D F \perp A B ，$ 交$ x $轴于点$ F ，$ 交$ A C $于点$ E $

由题意，可得点$ D $的坐标为$ (m，$$-\frac {4}{3}\mathrm {m^2}-\frac {8}{3}\ \mathrm {m}+4)(-3＜m＜0)$

∴易得点$ E $的坐标为$ (m，$$ \frac {4}{3}\ \mathrm {m}+4) $

∴$D E=-\frac {4}{3}\mathrm {m^2}- \frac {8}{3}\ \mathrm {m}+4-(\frac {4}{3}\ \mathrm {m}+4)=-\frac {4}{3}\mathrm {m^2}-4\ \mathrm {m} $

∴$S_{\triangle A D C}=\frac {1}{2}\ \mathrm {D} E ·O A=\frac {3}{2} ·(-\frac {4}{3}\mathrm {m^2}-4\ \mathrm {m})=-2\ \mathrm {m^2}-6\ \mathrm {m}$

∵$S_{\triangle A B C}=\frac {1}{2}\ \mathrm {A} B ·O C=\frac {1}{2} ×(1+3) ×4=8$

∴$S=-2\ \mathrm {m^2}-6\ \mathrm {m}+8= -2(m+\frac {3}{2})^2+\frac {25}{2} $

∵$-2<0，$$-3＜m＜0$

∴当$ m=-\frac {3}{2} $时，$ S $取得最大值，$ S_{最大 }=\frac {25}{2} $

当$ x=-\frac {3}{2} $时，$ y=-\frac {4}{3} ×(-\frac {3}{2})^2- \frac {8}{3} ×(-\frac {3}{2})+4=5$

∴点$ D $的坐标为$ (-\frac {3}{2}，$$ 5) $

$(3) $存在

设点$ P $的坐标为$ (-1，$$ n) $

∵以$ A，$$ C，$$ P，$$ Q $为顶点的四边形是以$ A C $为对角线的菱形

∴$P A=P C ，$ 即$ P A^2=P C^2$

∴$(-1+ 3)^2+n^2=1^2+(n-4)^2 ，$ 解得$ n=\frac {13}{8} $

∴点$ P $的坐标为$ (-1，$$ \frac {13}{8}) $

易得$ x_{P}+x_{Q}=x_{A}+x_{C}，$$ y_{P}+y_{Q}=y_{A}+y_{C} $

∴$x_{Q}=-3+0-(-1)=-2，$$ y_{Q}=0+4-\frac {13}{8}=\frac {19}{8} $

∴点$ Q $的坐标为$ (-2，$$ \frac {19}{8}) $